Stima di una n tale da verificare una disequazione

[UbuntuRules]

Salve ragazzi, devo trovare una N che verifichi questa disequazione:
$ (n^3+1)/(n^4+n^2-n-1)<1/1000 $
Io penso di aver risolto stimando che $ (n^3+1)/(n^4+n^2-n-1)<=n^3/n^4 $ dato che il denominatore della prima è sempre maggiore o uguale a quello della seconda. Da qui è immediato vedere che n deve essere maggiore di 1000, cosa che ho verificato (con derive) essere giusta e anche abbastanza precisa (con n=999 la disequazione non è soddisfatta).
La mia domanda è: mi sembra di aver fatto una stima troppo grossolana, può essere sbagliato risolvere l'esercizio in questo modo? Grazie

[salvozungri]

No, non è spagliato perchè l'esercizio ti chiede di determinare un N e tu lo hai trovato. Certo, dovresti mostrare che quella disuguaglianza è vera per ogni [tex]n>1[/tex] ma non mi sembra una cosa difficile da fare (magari sì, non lo so, non mi sono messo a fare i conti )

[Edit] Con "quella disuguaglianza" intendo [tex]\frac{n^3+1}{n^4+n^2-n-1}\le \frac{n^3}{n^4}[/tex]

[UbuntuRules]

Ti ringrazio per la risposta. Ho imparato a preoccuparmi sempre quando la soluzione mi sembra troppo facile, ma questa volta può darsi che lo fosse realmente
P.S. Avevo pensato anche io la cosa di verificare per ogni n>1 la disuguaglianza è vera ma mi sembra abbastanza banale.

[salvozungri]

Per come è impostato l'esercizio, la tua risposta va più che bene. Ti faccio notare che se tu non avessi trovato quella maggiorazione allora la risoluzione sarebbe stata molto più complicata. Diciamo che hai trovato la strada furba!

[UbuntuRules]

Si infatti prima di scrivere la maggiorazione mi ero spaccato la testa con scomposizioni di tutti i tipi per provare a semplificare qualcosa, ma non avevo ottenuto niente. Diciamo che di solito mi rivolgo a questo forum per trovare la strada furba, questa volta mi è andata bene