Stima di una n tale da verificare una disequazione
Salve a tutti,
Sono disperato, non so come venire a capo di questo esercizio:
"Determinare un numero n tale che da n in poi:"
$ 1-1/2+1/4-1/6+...+(-1)^(n+1)(1/(2n))>73/120 $
Allora, io ho riscritto la sommatoria come $ 1 + sum_(n = 1)^(oo )(-1)^n(1/(2n)) $ perchè così mi sembra più chiara (anzi secondo me com'era scritta all'inizio è proprio sbagliata). Di questa serie posso sicuramente dire che converge per il criterio di Leibnitz. Ora il problema è trovare questa n (sempre che esista). Dovrei trovare una somma parziale per la serie? O c'è un altro modo? Perchè se si può fare solo così non ci riesco proprio! Grazie
Sono disperato, non so come venire a capo di questo esercizio:
"Determinare un numero n tale che da n in poi:"
$ 1-1/2+1/4-1/6+...+(-1)^(n+1)(1/(2n))>73/120 $
Allora, io ho riscritto la sommatoria come $ 1 + sum_(n = 1)^(oo )(-1)^n(1/(2n)) $ perchè così mi sembra più chiara (anzi secondo me com'era scritta all'inizio è proprio sbagliata). Di questa serie posso sicuramente dire che converge per il criterio di Leibnitz. Ora il problema è trovare questa n (sempre che esista). Dovrei trovare una somma parziale per la serie? O c'è un altro modo? Perchè se si può fare solo così non ci riesco proprio! Grazie
Risposte
"UbuntuRules":E invece stai sbagliando tu. Quella che ti assegna l'esercizio non è una somma infinita, ma una somma finita. Non snobbare le notazioni estese in favore del simbolo $Sigma$: le prime sono molto più utili all'intuizione.
Allora, io ho riscritto la sommatoria come $ 1 + sum_(n = 1)^(oo )(-1)^n(1/(2n)) $ perchè così mi sembra più chiara (anzi secondo me com'era scritta all'inizio è proprio sbagliata).
ok non è una serie infinita, però posso comunque scriverla come $ 1+sum_(n = 1)^(N)(-1)^n(1/(2n)) $ o sbaglio? e comunque il mio problema resta!
Riguardati l'enunciato del criterio di Leibniz. Se fai attenzione, vedrai che quello non è solo un criterio di convergenza, ma contiene anche una stima del resto. Cerca sul tuo libro di analisi.
Grazie per l'indicazione! Però continuo ad avere un pò di difficoltà. Il mio libro dice:
"Se [...condizioni criterio di Leibnitz verificate...] allora la serie è convergente. Inoltre le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice dispari per difetto. Il resto della serie è maggiorato in valore assoluto dal primo termine trascurato."
Immagino che questo voglia dire che potrei trovare una somma parziale per la mia serie a segni alterni, prendendo la somma parziale degli elementi con indice pari (ad esempio) e sottraendoci il resto, giusto? In tal caso, cosa si intende per "primo termine trascurato"?
"Se [...condizioni criterio di Leibnitz verificate...] allora la serie è convergente. Inoltre le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice dispari per difetto. Il resto della serie è maggiorato in valore assoluto dal primo termine trascurato."
Immagino che questo voglia dire che potrei trovare una somma parziale per la mia serie a segni alterni, prendendo la somma parziale degli elementi con indice pari (ad esempio) e sottraendoci il resto, giusto? In tal caso, cosa si intende per "primo termine trascurato"?
Purtroppo non ho il tempo di mettermi a spiegare questa cosa, adesso. (Tra l'altro ti confesso che questo fatto non l'ho mai capito proprio a fondo 
). Però sulla Wikipedia inglese è spiegato bene e in modo conciso. Dai un'occhiata:
http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test
). Però sulla Wikipedia inglese è spiegato bene e in modo conciso. Dai un'occhiata: http://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test
Provo a spiegartelo io, almeno per darti l'idea (visto che non ho tempo per riscriverti la dimostrazione).
Nella dimostrazione del criterio di Leibniz si lavora con $s_n$ , la successione delle ridotte, e con le due successioni $s_(2n)$ e $s_(2n + 1)$.
Una è monotona decrescente, mentre l'altra è monotona crescente. Sotto le ipotesi del teorema convergono entrambe ad $s$, una da sopra e l'altra da sotto. Da questo dovrebbe esserti chiaro il perché della stima...
Nella dimostrazione del criterio di Leibniz si lavora con $s_n$ , la successione delle ridotte, e con le due successioni $s_(2n)$ e $s_(2n + 1)$.
Una è monotona decrescente, mentre l'altra è monotona crescente. Sotto le ipotesi del teorema convergono entrambe ad $s$, una da sopra e l'altra da sotto. Da questo dovrebbe esserti chiaro il perché della stima...
Ok ora mi è più chiaro il significato di quella stima. Comunque, perdonatemi il pragmatismo, come posso applicare tutto ciò al mio esercizio?
Beh, hai appena capito cosa significa la stima di cui si parla nell'enunciato di Leibniz... Datti un po' di tempo per ragionare sull'esercizio alla luce di questo.
Il $120$ nel denominatore mi fa pensare che $73/120$ sia eguale a $1-1/2+1/4-1/6+1/8-1/10$.
non penso debba andare avanti per tentativi, ci deve essere un modo formale! Però capisco proprio come potrei fare, qualcuno me lo potrebbe cortesemente spiegare? Grazie
Poniamo $s_n:=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2k}$. Dalla dimostrazione del criterio di Leibnizi si vede che
$s_{2n-1}
$1+s_n>1+s_5=\frac{73}{120}$ per ogni $n\geq6$
$s_{2n-1}
$1+s_n>1+s_5=\frac{73}{120}$ per ogni $n\geq6$
Vediamo se ho capito. Una somma parziale di indice dispari arrotonda la somma della serie sempre per difetto, quindi se trovo una somma parziale di indice dispari maggiore o uguale al valore da superare, posso affermare che per ogni n successiva a quell'indice dispari, la somma sarà maggiore di quel valore. Giusto?
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