Stima di una n tale da verificare una disequazione
Salve a tutti,
vorrei sottoporre un esercizio che magari sarà stupido, ma non riesco proprio a risolvere.
Il testo recita:
Si determini un numero N tale che dal rango N in su (ovvero per ogni n>=N)
$ (n+3)^(1/3) - (n+2)^(1/3) < 0.001 $
Qualcuno riesce a dirmi come fare? Grazie mille.
vorrei sottoporre un esercizio che magari sarà stupido, ma non riesco proprio a risolvere.
Il testo recita:
Si determini un numero N tale che dal rango N in su (ovvero per ogni n>=N)
$ (n+3)^(1/3) - (n+2)^(1/3) < 0.001 $
Qualcuno riesce a dirmi come fare? Grazie mille.
Risposte
Usando la scomposizione $a-b = (a^{1/3} - b^{1/3})(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3})$ con $a = n+3$ e $b=n+2$ ottieni
$(n+3)^{1/3} - (n+2)^{1/3} = \frac{1}{(n+3)^{2/3} + (n+3)^{1/3}(n+2)^{1/3}+(n+2)^{2/3}} < \frac{1}{3n^{2/3}}$.
Da qui non dovrebbe essere difficile ottenere la stima che ti serve.
$(n+3)^{1/3} - (n+2)^{1/3} = \frac{1}{(n+3)^{2/3} + (n+3)^{1/3}(n+2)^{1/3}+(n+2)^{2/3}} < \frac{1}{3n^{2/3}}$.
Da qui non dovrebbe essere difficile ottenere la stima che ti serve.
Scusami, saresti così gentile da spiegarmi meglio quella scomposizione e come hai ottenuto l'espressione risultante?
La scomposizione è quella della differenza di due cubi.
L'espressione risultante la ottieni da quella sopra:
$a^{1/3}-b^{1/3} = \frac{a-b}{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}$.
L'espressione risultante la ottieni da quella sopra:
$a^{1/3}-b^{1/3} = \frac{a-b}{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}$.
Ok penso di esserci sulla scomposizione, ma ho ancora dei dubbi sul resto, in particolare:
1) da dove arriva quel $ ... < (1)/((3n)^(2/3)) $
2) non mi è chiaro come questa scomposizione mi aiuti a risolvere l'esercizio! cioè, non dovrei arrivare ad isolare la n alla fine? nella situazione in cui sto non vedo molta differenza da come stavo all'inizio!
Scusami ancora e ti ringrazio infinitamente per la pazienza.
1) da dove arriva quel $ ... < (1)/((3n)^(2/3)) $
2) non mi è chiaro come questa scomposizione mi aiuti a risolvere l'esercizio! cioè, non dovrei arrivare ad isolare la n alla fine? nella situazione in cui sto non vedo molta differenza da come stavo all'inizio!
Scusami ancora e ti ringrazio infinitamente per la pazienza.
[mod="dissonance"]@UbuntuRules: Per favore, cambia il titolo, mettendone uno più esplicativo (vedi regolamento - clic - 3.4). [/mod]
1) Ciascuno dei tre termini a denominatore è maggiore di $n^{2/3}$; il denominatore è quindi $> 3n^{2/3}$.
2) La disuguaglianza $\frac{1}{3 n^{2/3}} < 0.001$ è verificata per ogni [tex]n > (\frac{1000}{3})^{3/2}[/tex]; ti basta dunque scegliere $N$ intero maggiore di questo numeretto a secondo membro (dovrebbe bastare $N=6086$).
2) La disuguaglianza $\frac{1}{3 n^{2/3}} < 0.001$ è verificata per ogni [tex]n > (\frac{1000}{3})^{3/2}[/tex]; ti basta dunque scegliere $N$ intero maggiore di questo numeretto a secondo membro (dovrebbe bastare $N=6086$).
Ora è tutto chiarissimo. Purtroppo fare queste stime non mi viene per niente naturale e ti sarò sembrato un pò tardo ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
! Ti ringrazio ancora molto! Spero che un giorno ce la farò pure da solo! 
! Ti ringrazio ancora molto! Spero che un giorno ce la farò pure da solo!
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