Stima di una funzione in $RR^3$ con la norma del vettore

[manu89BO]

data la funzione in $RR^3$ :
$f(x,y,z) = |x^6 + 2*y^6 +3*z^6|$ come posso stimarla, o comunque confrontarla, con la norma (euclidea) $||(x,y,z)||$ ?

io ho pensato che

$x^6 + 2*y^6 +3*z^6>=x^6+y^6+z^6$ e che
$x^6+y^6+z^6<=(x^2+y^2+z^2)^3$ ovvero $x^6+y^6+z^6<=(x^2+y^2+z^2)^(6/2)=(||(y,x,z)||)^6$

ma tutto questo non mi permette comunque di mettere in relazione $x^6 + 2*y^6 +3*z^6$ con $(||(y,x,z)||)^6$

dov'è che sbaglio?

grazie mille a chiunque vorrà darmi una mano su questo quesito che non mi pare particolarmente difficile, e proprio per questo il non riuscire a risolverlo mi sta facendo impazzire!

[misanino]

Questa è una stima possibile:
$|x^6+2*y^6+3*z^6|<=|3x^6+3y^6+3z^6|=3|x^6+y^6+z^6|<=3(x^2+y^2+z^2)^3<=3||(x,y,z)||^6$

[manu89BO]

ah be si, giusto, quasi mi vergogno per non averci pensato io stessa!

e avrei un altro piccolo quesito in merito...considerando solo vettori con $||(x,y,z)||<=1$, è matematicamente lecito dire che vale

$x^6 + 2*y^6+3*z^6>=x^6+y^6+z^6>=||(x,y,z)||^7$ ?

[misanino]

Assolutamente no.
Prendi ad esempio $x=1/sqrt(2)$, $y=1/sqrt(2)$, $z=0$.
Allora $||(x,y,z)||=(x^2+y^2+z^2)^(1/2)=(1/2+1/2+0)^(1/2)=1^(1/2)=1$
Perciò $||(x,y,z)||^7=1$
Invece $(x^6+y^6+z^6)=1/8+1/8+0=1/4$
e $1/4$ è minore di 1 e non maggiore o uguale!!

[manu89BO]

...e quindi non esiste un modo corretto di sottostimare tale funzione tramite la norma del vettore (cioè avendo $|x^6+2*y^6+6*z^6| >=$ norma del vettore ?