Stima di una derivata q.o

[balestrav]

Salve a tutti. Ho una funzione [tex]u : [0,H] \longrightarrow [0,Z][/tex] decrescente che soddisfa la seguente stima
[tex]u(s)-u(s+k) \leq C s^{-\frac{1}{n}+1}k \quad \forall k>0 \; \; e \;\; s \quad t.c \;\;k+s \in [0,H][/tex]. Posso concludere che vale
[tex]0 \leq -u'(s) \leq C s^{-\frac{1}{n}+1}[/tex]? Io ho provato a giustificarlo osservando che se fisso s>0 allora la u è lipschitziana quindi derivabile q.o, però non so cosa dire per quanto riguarda un intorno dell'origine..

[_prime_number]

Domanda, la funzione $u$ ha qualche proprietà di regolarità? Quell'$1/n$ cosa significa? Da cosa dipende $n$?

Paola

[balestrav]

n è un naturale >1 e u non ha nessuna regolarità ( dalla stima dovrebbe essere continua..)

[Rigel1]

Non capisco il problema. Basta il limite del rapporto incrementale, che sai esistere finito per quasi ogni $s$:
\[
0\geq \lim_{k\to 0^+} \frac{u(s+k)-u(s)}{k} \geq - C s^{1-1/n}.
\]

[balestrav]

Ok. Se ora avessi una funzione f definita su [tex]\mathbb{R}^n[/tex] come [tex]f(x)=u(|x|)[/tex] potrei dire che vale [tex]f(x)-f(y)=\int_{|y|}^{|x|} u'(s)ds[/tex]? Ammetto la mia ignoranza in questo campo, ma so che il teorema fondamentale del calcolo vale per funzioni assolutamente continue, quindi essendo u lipschitziana in ogni intervallo [e,H] ( e quindi AC), potrei concludere che il teorema fondamentale vale in [e,H]. Quindi una volta fissati x e y, posso trovare un e tale che e

Cita

Segnala

[Rigel1]

Sì; se $u$ è Lipschitziana su $[0,H]$ e $x,y\in \RR^n$ sono tali che $|x|, |y| \le H$, hai che
\( f(x) - f(y) = u(|x|) - u (|y|) = \int_{|y|}^{|x|} u'(t) dt. \)

[balestrav]

ok, grazie!