Stima della somma di una seria numerica
Ragazzi ho questo esercizio...
Stabilire che la serie $sum 2^n/(3^n+n^2)$ (da 1 a infinito) è convergente. Scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per
determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di $10^-2$
Io ho già stabilito che la serie è convergente tramite il criterio del rapporto, dal quale mi è uscito $3/n$ quindi aumentando il denominatore infinitamente e essendo il numeratore una costante, la serie converge.
Ma imponendo $2^n/(3^n+n^2) <= 1/100$ non so proprio come muovermi, mi dareste qualcosa per ragionare o almeno per sbloccarmi?
Stabilire che la serie $sum 2^n/(3^n+n^2)$ (da 1 a infinito) è convergente. Scrivere una maggiorazione per il resto e utilizzarla per
determinare un valore approssimato della somma della serie con un errore minore di $10^-2$
Io ho già stabilito che la serie è convergente tramite il criterio del rapporto, dal quale mi è uscito $3/n$ quindi aumentando il denominatore infinitamente e essendo il numeratore una costante, la serie converge.
Ma imponendo $2^n/(3^n+n^2) <= 1/100$ non so proprio come muovermi, mi dareste qualcosa per ragionare o almeno per sbloccarmi?
Risposte
"skass89":
Io ho già stabilito che la serie è convergente tramite il criterio del rapporto, dal quale mi è uscito $3/n$
Ricontrolla i conti, ci deve essere un errore.
Per ottenere una maggiorazione sensata, basta tener presente che [tex]$3^n<3^n+n^2$[/tex], quindi...
"gugo82":
[quote="skass89"]Io ho già stabilito che la serie è convergente tramite il criterio del rapporto, dal quale mi è uscito $3/n$
Ricontrolla i conti, ci deve essere un errore.
[/quote]
è proprio sballato? ho rivisto i conti (che ho fatto ieri) e mi usciva $2/n$ non $3$ al numeratore....
Comunque non capisco a cosa mi può aiutare quella relazione nell'equazione che devo impostare....
"skass89":
[quote="gugo82"][quote="skass89"]Io ho già stabilito che la serie è convergente tramite il criterio del rapporto, dal quale mi è uscito $3/n$
Ricontrolla i conti, ci deve essere un errore.
[/quote]
è proprio sballato? ho rivisto i conti (che ho fatto ieri) e mi usciva $2/n$ non $3$ al numeratore....[/quote]
Ciò che devi chiedere a te stesso è: è possibile che il risultato del [tex]$\lim_n \frac{a_n}{a_{n+1}}$[/tex] dipenda da [tex]$n$[/tex]?
"skass89":
Comunque non capisco a cosa mi può aiutare quella relazione nell'equazione che devo impostare....
Semplicemente essa ti rende possibile maggiorare la tua serie con qualcosa di noto... Prova.
ho capito...e il limite mi tende a $0$.
comunque forse ho afferrato...
la disequazione deve essere $a_n+1 <= 1o^-2$ ?
comunque forse ho afferrato...
la disequazione deve essere $a_n+1 <= 1o^-2$ ?
"skass89":
ho capito...e il limite mi tende a $0$.
Eh...
"skass89":
la disequazione deve essere $a_n+1 <= 1o^-2$ ?
Da dove esce fuori?
L'idea era:
[tex]$3^n<3^n+n^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{2^n}{3^n+n^2} <\frac{2^n}{3^n}$[/tex],
ora continua tu.
***EDIT: Avevo sbagliato a leggere; ti serve una maggiorazione per il resto, non per la serie. Non considerare questo suggerimento.
e si...ecco perchè non ti capivo...domani ho l'esame stavo andando ancora di più in panico 
Vabbè, però ripensandoci non era tanto lontano dall'esser giusto ciò a cui pensavo.
Difatti il resto [tex]$m$[/tex]-esimo della tua serie è [tex]$R_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n+n^2}$[/tex]; usando la maggiorazione precedente, si ha:
[tex]$R_m<\sum_{n=m+1}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n} =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n} -\sum_{n=0}^{m} \frac{2^n}{3^n} =3-\left( \frac{1-(\tfrac{2}{3})^{m+1}}{1-\tfrac{2}{3}} \right) =3(\tfrac{2}{3})^{m+1} =2(\tfrac{2}{3})^m$[/tex]
per noti fatti sulla serie geometrica, quindi svolgendo un po' di conti un maggiorante [tex]$M_m$[/tex] per il resto [tex]$R_m$[/tex] lo trovi facile.
Una volta fatto ciò, basta risolvere rispetto ad [tex]$m$[/tex] la disequazione [tex]$M_m<10^{-2}$[/tex] ed usare il più piccolo valore [tex]$\mu$[/tex] per cui è vera tale relazione per calcolare [tex]$\sum_{n=0}^\mu \frac{2^n}{3^n+n^2}$[/tex], che è l'approssimazione desiderata.
Difatti il resto [tex]$m$[/tex]-esimo della tua serie è [tex]$R_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n+n^2}$[/tex]; usando la maggiorazione precedente, si ha:
[tex]$R_m<\sum_{n=m+1}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n} =\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^n}{3^n} -\sum_{n=0}^{m} \frac{2^n}{3^n} =3-\left( \frac{1-(\tfrac{2}{3})^{m+1}}{1-\tfrac{2}{3}} \right) =3(\tfrac{2}{3})^{m+1} =2(\tfrac{2}{3})^m$[/tex]
per noti fatti sulla serie geometrica, quindi svolgendo un po' di conti un maggiorante [tex]$M_m$[/tex] per il resto [tex]$R_m$[/tex] lo trovi facile.
Una volta fatto ciò, basta risolvere rispetto ad [tex]$m$[/tex] la disequazione [tex]$M_m<10^{-2}$[/tex] ed usare il più piccolo valore [tex]$\mu$[/tex] per cui è vera tale relazione per calcolare [tex]$\sum_{n=0}^\mu \frac{2^n}{3^n+n^2}$[/tex], che è l'approssimazione desiderata.
forse era meglio prima... ahahahahahAvresti la pazienza di sopportarmi e farmi ragionare passo per passo....?
Basta ricordare che, se una serie [tex]$\sum a_n$[/tex] converge, allora la successione dei resti [tex]$R_m$[/tex] si esprime come:
[tex]$R_m=\sum_{n=0}^{\infty} a_n -\sum_{n=0}^m a_n =\sum_{n=m+1}^{\infty} a_n$[/tex];
d'altra parte, sai che per una serie geometrica convergente valgono i seguenti fatti:
[tex]$\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n =\frac{1}{1-\lambda}$[/tex] e [tex]$\sum_{n=0}^{m} \lambda^n =\frac{1-\lambda^{m+1}}{1-\lambda}$[/tex];
infine hai [tex]$R_m< 10^{-2}$[/tex] non appena [tex]$M_m<10^{-2}$[/tex], ergo detto [tex]$\mu$[/tex] il più piccolo indice per cui [tex]$M_\mu <10^{-2}$[/tex] si ha [tex]$R_\mu <10^{-2}$[/tex], perciò [tex]$\sum_{n=0}^\mu a_n$[/tex] è un'approssimazione della somma di [tex]$\sum a_n$[/tex] a meno di [tex]$10^{-2}$[/tex].
Il resto dei passaggi che ho fatto sono algebra elementare, quindi non c'è molto da dire.
Scusa per la sinteticità, ma sono di corsa.
[tex]$R_m=\sum_{n=0}^{\infty} a_n -\sum_{n=0}^m a_n =\sum_{n=m+1}^{\infty} a_n$[/tex];
d'altra parte, sai che per una serie geometrica convergente valgono i seguenti fatti:
[tex]$\sum_{n=0}^{\infty} \lambda^n =\frac{1}{1-\lambda}$[/tex] e [tex]$\sum_{n=0}^{m} \lambda^n =\frac{1-\lambda^{m+1}}{1-\lambda}$[/tex];
infine hai [tex]$R_m< 10^{-2}$[/tex] non appena [tex]$M_m<10^{-2}$[/tex], ergo detto [tex]$\mu$[/tex] il più piccolo indice per cui [tex]$M_\mu <10^{-2}$[/tex] si ha [tex]$R_\mu <10^{-2}$[/tex], perciò [tex]$\sum_{n=0}^\mu a_n$[/tex] è un'approssimazione della somma di [tex]$\sum a_n$[/tex] a meno di [tex]$10^{-2}$[/tex].
Il resto dei passaggi che ho fatto sono algebra elementare, quindi non c'è molto da dire.
Scusa per la sinteticità, ma sono di corsa.
ragazzi scusatemi ho una certa fretta...mi sto soffermando troppo su questo esercizio...ho da ripassare ancora alcune cose e domani ho la prova scritta...
non mi è chiara una cosa...
il resto n-esimo è dato da $|S-S_n|$ quindi come mi ha suggerito gugo82 il risultato è $2(2/3)^m$ ok...ho rifatto anche io i calcoli e sono riuscito ad ottenere lo stesso risultato...
per stimare la somma della serie con un errore controllato inferiore a $10^-2$, devo imporre $R_n < 10^-2 $? (per ottenere l'indice per stimare la somma)
se si...io mi blocco in questo punto $3^n/2^n > 200$
abbiate pazienza, vi prego...
non mi è chiara una cosa...
il resto n-esimo è dato da $|S-S_n|$ quindi come mi ha suggerito gugo82 il risultato è $2(2/3)^m$ ok...ho rifatto anche io i calcoli e sono riuscito ad ottenere lo stesso risultato...
per stimare la somma della serie con un errore controllato inferiore a $10^-2$, devo imporre $R_n < 10^-2 $? (per ottenere l'indice per stimare la somma)
se si...io mi blocco in questo punto $3^n/2^n > 200$
abbiate pazienza, vi prego...
ce nessuno?
"skass89":
ce nessuno?
C'è un errore di ortografia...
Ad ogni modo, sì: in teoria, avendo a disposizione un'espressione di [tex]$R_m$[/tex], devi imporre [tex]$R_m<10^{-2}$[/tex] e risolvere rispetto ad [tex]$m$[/tex], ottenendo qualcosa di simile a [tex]$m>M$[/tex] con [tex]$M$[/tex] fissato; ciò vuol dire che per [tex]$m>M$[/tex] hai [tex]$S-S_m<10^{-2}$[/tex], sicché ogni [tex]$S_m=\text{somma parziale $m$-esima della serie}$[/tex] è un'approssimazione del tipo richiesto.
Nel caso che stiamo esaminando però non abbiamo a disposizione un'espressione esplicita per [tex]$R_m$[/tex], quindi ciò che ho illustrato sopra non lo si può fare.
Tuttavia nel nostro caso abbiamo [tex]$R_m
[tex]$M_m<10^{-2} \quad \Rightarrow \quad R_m<10^{-2}$[/tex]
quindi ogni indice [tex]$m$[/tex] per cui è vera [tex]$M_m<10^{-2}$[/tex] rende vera anche [tex]$R_m<10^{-2}$[/tex]; in particolare ciò è valido per il più piccolo indice [tex]$\mu$[/tex] che rende vera la disuguaglianza [tex]$M_\mu <10^{-2}$[/tex].
Va da sé che tale indice può essere usato per determinare la somma parziale [tex]$S_\mu$[/tex] che fornisce certamente un'approssimazione con le qualità richieste.
ok tutto chiaro! meglio di così si muore
ma al punto in cui mi sono bloccato io ovvero $2^n/3^n$ come posso procedere?
ma al punto in cui mi sono bloccato io ovvero $2^n/3^n$ come posso procedere?
Prendere i logaritmi non si usa più?
Ed inoltre applicare il teorema di combiamento di base non mi pare una cattiva idea.
Ed inoltre applicare il teorema di combiamento di base non mi pare una cattiva idea.
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