Stima del resto di Lagrange e polinomio di Taylor dell'arcotangente
Salve, mi chiedevo come si potesse scrivere la stima dell'errore col resto di Lagrange della funzione arctan(1), in pratica se uso il fattoriale (n+1)! al denominatore mi da un approssimazione velocissima, mentre invece dovrebbe essere MOOOOLTO lenta, come dimostrò Leibniz...
In pratica noi abbiamo studiato la formula del resto di Lagrange come $ (f(c)^(n+1))*(|x-x0|^(n+1))/((n+1)!) $
E so che il polinomio di taylor per l'arctg x è $ x= x -(x^3)/3 + (x^5)/5 - $ ... etc
e essendo la x in questo caso 1 (Perchè la prof vuole che io approssimi pigreco/4, ossia arctg(1), se calcolo il resto di lagrange approssimando f(c) al massimo che ho pensato essere 1, e mettendo sempre 1 come fatore che si eleva nel prodotto, quindi che non influisce, il fattoriale sotto non si semplifica, cosa che invece dovrebbe accadere e quindi succede che con pochi fattori potrebbe essere approssimato con errori abbastanza piccoli, mentre come ben sappiamo per approssimare pigreco quarti anche solo alla seconda cifra decimale abbiamo bisogno di centinaia di fattori...
In sostanza ho fatto questo: $ (f(c)^(n+1))*(|x-x0|^(n+1))/((n+1)!) < 1*(|0-1|^(n+1))/((n+1)!) $ ...
come posso fare a risolvere la situazione? Sembra che a qualunque numero approssimi quel cavolo di fattoriale rimanga li...
Mi sa tanto che non ho tanto capito come funziona l'approssimazione della f(c)^n+1 al massimo del valore delle derivate che compare nell'errore di lagrange... Fino al resto di Peano era tutto chiaro, ma col resto di Lagrange sto andando in panico, aiutatemi perfavore T_T
In pratica noi abbiamo studiato la formula del resto di Lagrange come $ (f(c)^(n+1))*(|x-x0|^(n+1))/((n+1)!) $
E so che il polinomio di taylor per l'arctg x è $ x= x -(x^3)/3 + (x^5)/5 - $ ... etc
e essendo la x in questo caso 1 (Perchè la prof vuole che io approssimi pigreco/4, ossia arctg(1), se calcolo il resto di lagrange approssimando f(c) al massimo che ho pensato essere 1, e mettendo sempre 1 come fatore che si eleva nel prodotto, quindi che non influisce, il fattoriale sotto non si semplifica, cosa che invece dovrebbe accadere e quindi succede che con pochi fattori potrebbe essere approssimato con errori abbastanza piccoli, mentre come ben sappiamo per approssimare pigreco quarti anche solo alla seconda cifra decimale abbiamo bisogno di centinaia di fattori...
In sostanza ho fatto questo: $ (f(c)^(n+1))*(|x-x0|^(n+1))/((n+1)!) < 1*(|0-1|^(n+1))/((n+1)!) $ ...
come posso fare a risolvere la situazione? Sembra che a qualunque numero approssimi quel cavolo di fattoriale rimanga li...
Mi sa tanto che non ho tanto capito come funziona l'approssimazione della f(c)^n+1 al massimo del valore delle derivate che compare nell'errore di lagrange... Fino al resto di Peano era tutto chiaro, ma col resto di Lagrange sto andando in panico, aiutatemi perfavore T_T
Risposte
La formula di Taylor in questione e'
$ arctg(x)= x-x^3/3+x^5/5+...+(-1)^n/(2n+1)x^(2n+1)+R(x) $
dove Rx) e' il resto di Lagrange difficile a prima vista da valutare per stimare l'errore.
Una maniera semplice per bypassare il problema e' usare il seguente teorema sulle serie numeriche.
Se $ sum_(k=0)^(+oo)(-1)^ka_k $ e' una serie a termini di segno alternato per la quale valgono:
1) $ a_0>=a_1>=a_2>=...>=0 $
2) $ lim_(krarr+oo)a_k=0 $
allora la successione delle somme parziali arrestate a un posto pari converge per eccesso alla somma delle serie, mentre quella delle somme parziali arrestate a un posto dispari converge per difetto. L'errore di approssimazione commesso arrestandosi al posto n-esimo non supera in valore assoluto il valore assoluto del primo termine trascurato.
Allora se voglio calcolare $ pi/4=artg(1) $ con un errore minore di $ epsilon $ uso lo sviluppo di Taylor di artg(x) con x=1 arrestata al termine K calcolato nel seguente modo. Poiche' la serie
$ sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k1/(2k+1) $
verifica il teorema sopra allora mi fermo al termine K per il quale
$ 1/(2K+1)
Esempio: per approssimare $ pi/4 $ entro $ epsilon=1/100 $ usero' K>=50.
$ arctg(x)= x-x^3/3+x^5/5+...+(-1)^n/(2n+1)x^(2n+1)+R(x) $
dove Rx) e' il resto di Lagrange difficile a prima vista da valutare per stimare l'errore.
Una maniera semplice per bypassare il problema e' usare il seguente teorema sulle serie numeriche.
Se $ sum_(k=0)^(+oo)(-1)^ka_k $ e' una serie a termini di segno alternato per la quale valgono:
1) $ a_0>=a_1>=a_2>=...>=0 $
2) $ lim_(krarr+oo)a_k=0 $
allora la successione delle somme parziali arrestate a un posto pari converge per eccesso alla somma delle serie, mentre quella delle somme parziali arrestate a un posto dispari converge per difetto. L'errore di approssimazione commesso arrestandosi al posto n-esimo non supera in valore assoluto il valore assoluto del primo termine trascurato.
Allora se voglio calcolare $ pi/4=artg(1) $ con un errore minore di $ epsilon $ uso lo sviluppo di Taylor di artg(x) con x=1 arrestata al termine K calcolato nel seguente modo. Poiche' la serie
$ sum_(k=0)^(+oo)(-1)^k1/(2k+1) $
verifica il teorema sopra allora mi fermo al termine K per il quale
$ 1/(2K+1)
Esempio: per approssimare $ pi/4 $ entro $ epsilon=1/100 $ usero' K>=50.
Grazie mille per la risposta, ma la prof non ci ha ancora spiegato le serie, nemmeno queste cose della convergenza, anche io mi sono accorto dopo vari calcoli che una volta approssima per eccesso mentre una volta per difetto.. il fatto è che lei vuole l'approssimazione proprio con la formula che ho scritto io del resto, cioè quella col fattoriale... non so proprio cosa metterci sopra per semplificare il fattoriale di sotto..
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