Stima del logaritmo del fattoriale
Salve, Consideriamo questi due limiti di successione:
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {\space ln(n)[1-cos({1\over{ln(n!)}})]} \)
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {\space n^3sin({1 \over ln(n!)})[e^{{1 \over ln(n!)}}-1]} \)
Svolgendo i limiti si arriva a:
\(\displaystyle 2lim_{n->+\infty} { {ln(n) \over (ln(n!))^2} } \)
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} { {n^3 \over (ln(n!))^2} } \)
Il professore mi ha spiegato che a questo punto, ci si deve rifare alla seguente stima, dimostrata a lezione:
\(\displaystyle ln(n)
e quindi, utilizzando la parte sinistra per il primo, e la parte destra per il secondo, si arriva:
\(\displaystyle 2lim_{n->+\infty} { {ln(n) \over (ln(n))^2}={1 \over ln(n)}}=0\)
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} { {n^3 \over (nln(n))^2}={n \over ln^2(n)}}=+\infty\)
Il mio dubbio è:
Perché per il primo limite ha scelto di utilizzare la parte sinistra della stima, mentre per il secondo ha scelto proprio la destra?
Grazie mille a chi saprà rispondermi.
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {\space ln(n)[1-cos({1\over{ln(n!)}})]} \)
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {\space n^3sin({1 \over ln(n!)})[e^{{1 \over ln(n!)}}-1]} \)
Svolgendo i limiti si arriva a:
\(\displaystyle 2lim_{n->+\infty} { {ln(n) \over (ln(n!))^2} } \)
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} { {n^3 \over (ln(n!))^2} } \)
Il professore mi ha spiegato che a questo punto, ci si deve rifare alla seguente stima, dimostrata a lezione:
\(\displaystyle ln(n)
e quindi, utilizzando la parte sinistra per il primo, e la parte destra per il secondo, si arriva:
\(\displaystyle 2lim_{n->+\infty} { {ln(n) \over (ln(n))^2}={1 \over ln(n)}}=0\)
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} { {n^3 \over (nln(n))^2}={n \over ln^2(n)}}=+\infty\)
Il mio dubbio è:
Perché per il primo limite ha scelto di utilizzare la parte sinistra della stima, mentre per il secondo ha scelto proprio la destra?
Grazie mille a chi saprà rispondermi.
Risposte
È un'applicazione del teorema del confronto:
partendo da \(\ln{n}\leqslant\ln{(n!)}\leqslant n\ln{n}\) (disuguaglianze larghe) si ottiene\[\begin{cases}\frac{1}{\ln{(n!)}}\leqslant\frac{1}{\ln{n}}\\\frac{1}{\ln{(n!)}}\geqslant\frac{1}{n\ln{n}}\end{cases}\]Applicando la seconda disuguaglianza al primo limite si ha:\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2{(n!)}}\geqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2\ln{n}}=0\]da cui vieni a sapere che il limite è non-negativo, ma non puoi concludere a quale numero converga o, per avverso, se diverga; non ottieni, cioè, informazioni decisive sul valore del limite. Utilizzando la prima disuguaglianza, invece:\[\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\right|\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln{n}}=0\implies0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\leqslant0\implies\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}=0\]Alla stessa maniera per il secondo limite:\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{\ln^2{(n!)}}\geqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\ln^2{n}}=+\infty\implies\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{\ln^2{(n!)}}=+\infty\]Dal momento che tale disuguaglianza porge una risposta esaustiva, non è nemmeno necessario l'utilizzo della prima disuguaglianza (come del resto non è necessaria la seconda disuguaglianza nel primo caso), che ad ogni modo - puoi verificarlo - non avrebbe fornito una soluzione univoca.
partendo da \(\ln{n}\leqslant\ln{(n!)}\leqslant n\ln{n}\) (disuguaglianze larghe) si ottiene\[\begin{cases}\frac{1}{\ln{(n!)}}\leqslant\frac{1}{\ln{n}}\\\frac{1}{\ln{(n!)}}\geqslant\frac{1}{n\ln{n}}\end{cases}\]Applicando la seconda disuguaglianza al primo limite si ha:\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2{(n!)}}\geqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2\ln{n}}=0\]da cui vieni a sapere che il limite è non-negativo, ma non puoi concludere a quale numero converga o, per avverso, se diverga; non ottieni, cioè, informazioni decisive sul valore del limite. Utilizzando la prima disuguaglianza, invece:\[\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\right|\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln{n}}=0\implies0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\leqslant0\implies\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}=0\]Alla stessa maniera per il secondo limite:\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{\ln^2{(n!)}}\geqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\ln^2{n}}=+\infty\implies\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{\ln^2{(n!)}}=+\infty\]Dal momento che tale disuguaglianza porge una risposta esaustiva, non è nemmeno necessario l'utilizzo della prima disuguaglianza (come del resto non è necessaria la seconda disuguaglianza nel primo caso), che ad ogni modo - puoi verificarlo - non avrebbe fornito una soluzione univoca.
Ti ringrazio molto. Stasera mi ci metto e ti dico se sono riuscito a capire tutto 
"seb":
È un'applicazione del teorema del confronto:
partendo da \(\ln{n}\leqslant\ln{(n!)}\leqslant n\ln{n}\) (disuguaglianze larghe) si ottiene\[\begin{cases}\frac{1}{\ln{(n!)}}\leqslant\frac{1}{\ln{n}}\\\frac{1}{\ln{(n!)}}\geqslant\frac{1}{n\ln{n}}\end{cases}\]Applicando la seconda disuguaglianza al primo limite si ha:\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2{(n!)}}\geqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^2\ln{n}}=0\]da cui vieni a sapere che il limite è non-negativo, ma non puoi concludere a quale numero converga o, per avverso, se diverga; non ottieni, cioè, informazioni decisive sul valore del limite. Utilizzando la prima disuguaglianza, invece:\[\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\right|\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\ln{n}}=0\implies0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\leqslant0\implies\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}=0\]
Allora, questo punto non mi è molto chiaro. Mi stai dicendo che per risolvere il primo limite è necessario adoperare tutte e due i confronti? altrimenti non mi spiego questo:
\[0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\leqslant0\]
"seb":
Alla stessa maniera per il secondo limite:\[\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{\ln^2{(n!)}}\geqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{\ln^2{n}}=+\infty\implies\lim_{n\to+\infty}\frac{n^3}{\ln^2{(n!)}}=+\infty\]Dal momento che tale disuguaglianza porge una risposta esaustiva
Questo credo di averlo capito, d'altronde una quantità maggiore di infinito è essa stessa infinito, è così?
Tuttavia questa conclusione non sarebbe in disaccordo con il corollario del Teorema del confronto per limiti? Il quale ci dice (prendo da wikipedia)
(Perdonami lo screenshot ma non sono ancora pratico con la scrittura MathJax)
"seb":
..non è nemmeno necessario l'utilizzo della prima disuguaglianza (come del resto non è necessaria la seconda disuguaglianza nel primo caso), che ad ogni modo - puoi verificarlo - non avrebbe fornito una soluzione univoca.
Anche su questa conclusione avrei dei subbi, la prima disuguaglianza non dà una soluzione univoca, una quantità minore di 0 può ancora essere, che sò, \(\displaystyle -\infty \), o sbaglio?
"rossiii":No, altrimenti avrei fatto uso del valore assoluto senza motivo. Espandendo tale valore assoluto si giunge a \(0\leqslant\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2(n!)}\leqslant0\), perciò è sufficiente solamente la prima disuguaglianza. In alternativa, certamente, si sarebbero potute utilizzare entrambe stringendo alla stessa maniera il limite da entrambi i lati.
Mi stai dicendo che per risolvere il primo limite è necessario adoperare tutte e due i confronti?
"rossiii":Prova a dire perché.
Tuttavia questa conclusione non sarebbe in disaccordo con il corollario del Teorema del confronto per limiti?
"rossiii":Non ho capito la domanda. Sì, una quantità minore di zero può essere \(-\infty\).
Anche su questa conclusione avrei dei subbi, la prima disuguaglianza non dà una soluzione univoca, una quantità minore di 0 può ancora essere, che sò, \(\displaystyle -\infty \), o sbaglio?
Per il primo limite non riesco a capire perché sarebbe "sufficiente" soltanto la prima disuguaglianza! Sei io uso la prima ottengo:
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {ln(n) \over ln^2(n!)} <= lim_{n->+\infty} {1 \over \ln(n)} = 0\)
Questa disuguaglianza ci dice che il limite può essere una quantità negativa, un po come se usassimo la seconda che come tu mi hai detto, ci dice soltanto che una quantità positiva! Quindi non riesco a capire..
Per il secondo credo invece di aver capito. La disuguaglianza ci dice che il limite è maggiore di una quantità che tende all'infinito, quindi esso stesso è infinito.
Per il corollario lasciamo un'attimo perdere altrimenti non capisco proprio più niente
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {ln(n) \over ln^2(n!)} <= lim_{n->+\infty} {1 \over \ln(n)} = 0\)
Questa disuguaglianza ci dice che il limite può essere una quantità negativa, un po come se usassimo la seconda che come tu mi hai detto, ci dice soltanto che una quantità positiva! Quindi non riesco a capire..
Per il secondo credo invece di aver capito. La disuguaglianza ci dice che il limite è maggiore di una quantità che tende all'infinito, quindi esso stesso è infinito.
Per il corollario lasciamo un'attimo perdere altrimenti non capisco proprio più niente
"rossiii":Ma questa non è la disuguaglianza che ho usato io; come ho già detto, sfrutto il valore assoluto e riesco a concludere immediatamente. Se, però, questo ti crea dubbi nulla ti vieta di usare ciascuna delle due disuguaglianze del logaritmo di cui disponi. D'altronde esistono numerose vie; vediamone una ulteriore: dal momento che \(\ln{x}\geqslant0,\>\forall x\in\mathbb{R}_{\geqslant1}\), il rapporto tra \(\ln{n}\) e \(\ln^2{(n!)}\) deve essere una quantità non negativa trovandoci in un intorno di \(+\infty\). Allora, da \(\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln{n}}{\ln^2{(n!)}}\leqslant\lim_{n\to+\infty}\ln^{-1}{n}=0\), ricaviamo che il limite deve essere nullo essendo al contempo una quantità non negativa e non positiva (teorema inverso della permanenza del segno tra l'altro). Questo, peraltro, è probabilmente il principio che ha adottato il tuo docente.
Per il primo limite non riesco a capire perché sarebbe "sufficiente" soltanto la prima disuguaglianza! Sei io uso la prima ottengo:
\(\displaystyle lim_{n->+\infty} {ln(n) \over ln^2(n!)} <= lim_{n->+\infty} {1 \over \ln(n)} = 0\)
Questa disuguaglianza ci dice che il limite può essere una quantità negativa, un po come se usassimo la seconda che come tu mi hai detto, ci dice soltanto che una quantità positiva! Quindi non riesco a capire..
Cavolo, Il valore assoluto! Non so perché ma nonostante siano giorni che mi fisso il tuo ragionamento me ne sono accorto soltanto adesso! che figuraccia!
L'alternativa che mi hai dato ora invece, l'ho compresa al volo
Ora finalmente è tutto molto più chiaro! Grazie mille e grazie ancor di più per la pazienza.
L'alternativa che mi hai dato ora invece, l'ho compresa al volo
Ora finalmente è tutto molto più chiaro! Grazie mille e grazie ancor di più per la pazienza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo