Stima asintotica

[Pickup]

Ciao a tutti, volevo chiedere una cosa riguardo a un argomento. Io vorrei calcolare l'asintotico di una certa funzione: ad esempio:

$|ln(1+(1)/(n+2)) - ln(1+1/n)|$ per $n ->infty$

Ora, io so che se sto "guardando" per $n ->infty$ gli infiniti di ordine inferiore sono trascurabili,quindi è lecito pensare cosi:

$|((n+3)/(n+2)) - ((n+1)/n)|=2*|1/(n*(n+2))| $ e da qui verifico subito che la mia funzione è asintotica a

$2$/$n^2$

So che in qualche modo c'entra lo sviluppo di Taylor, ma se dovessi ragionare cosi, che procedimento devo usare? Come faccio a calcolare il polinomio di Taylor in + infinito e poi ricavarmi la stima asintotica? Inoltre, come faccio poi a capire a quale ordine mi devo fermare? Spero di essere stato abbastanza chiaro.

Grazie mille
Marco

[Sk_Anonymous]

Intanto:

$ln((n+3)/(n+2))-ln((n+1)/n)=ln((n(n+3))/((n+1)(n+2)))$

Inoltre, che fine hanno fatto i logaritmi? In ogni modo, conviene scrivere:

$ln((n+3)/(n+2))-ln((n+1)/n)=ln(1+1/(n+2))-ln(1+1/n)$

[Pickup]

Scusa avevo scritto male l'esempio, ora ho corretto. Il logaritmo perchè deve restare? Non è sempre asintotico al suo argomento quando n tende ad infinito? In 0 mi calcolo il polinomio di Mc Laurin e non avrei problemi per calcolarmi la stima ma, in + infinito come si fa?

[Sk_Anonymous]

Puoi sviluppare i seguenti logaritmi:

$ln(1+1/(n+2))-ln(1+1/n)$

utilizzando lo sviluppo $[ln(1+f(n))=f(n)+...]$ quando $[f(n)->0]$. Ancora più elegante se prima scrivi:

$ln(1+1/(n+2))=ln(1+1/(n(1+2/n)))=ln(1+1/n*1/(1+2/n))=ln(1+1/n(1-2/n+...))$

utilizzando lo sviluppo $[1/(1+f(n))=1-f(n)+...]$ quando $[f(n)->0]$.

[Pickup]

Se mi scrivi f(n) ---> 0 devo fare un cambio di variabile. Scrivo 1/x ----> n ?
Pensandoci bene però in zero non è poi cosi banale trovare la stima asintotica. Mi sono calcolato la derivata prima e in 0,
mi fa infinito. Questo metodo non funziona sempre. Scusate la domanda banale ma faccio dei ragionamenti.

[Sk_Anonymous]

Allora:

$ln(1+1/(n+2))-ln(1+1/n)=ln(1+1/n-2/n^2+...)-ln(1+1/n)$

Ora, utilizzando un noto sviluppo valido per $[x->0]$, non è necessario che lo ricavi:

$ln(1+x)=x-1/2x^2+...$

puoi completare. Puoi sostituire al posto di $x$ la parte dell'argomento che tende a zero. Nel primo caso, $[1/n-2/n^2+...]$, nel secondo caso, $1/n$. In ogni modo, sarebbe meglio utilizzare i simboli che si introducono nel confronto degli infinitesimi, $O$ oppure $o$, al posto dei $[...]$. Così facendo, sapresti l'ordine degli infinitesimi che stai trascurando.

"Pickup":
Il logaritmo perchè deve restare? Non è sempre asintotico al suo argomento quando n tende ad infinito?

Effettivamente, ammettendo di essere interessati al solo primo termine dello sviluppo, quel procedimento risulta corretto. Si può giustificare considerando il seguente limite:

$lim_(n->+oo)(ln(1+f(n))-ln(1+g(n)))/(f(n)-g(n))=1$

essendo $[lim_(n->+oo)f(n)=0]$ e $[lim_(n->+oo)g(n)=0]$. Infatti, considerato il risultato del limite, numeratore e denominatore risultano essere infinitesimi dello stesso ordine aventi lo stesso coefficiente del termine dominante.