Stima Asintotica

[Lorenz90]

Buonasera, vorrei sapere perché

$lim_(x->infty) sqrt(x^2 + 1)$

diventa:

$1+1/(2x^2) (1+o(1))$

In particolare, perché $1/(x^2)$ diventa $1/(2x^2)$??
Grazie!

[spugna2]

Quello che hai scritto mi sembra piuttosto falso: come minimo nello sviluppo ci dovrebbe essere un termine che va a $oo$...

[Indrjo Dedej]

Magari intende $x \to +\infty$ \[\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=1+\frac{1}{2x^2}(1+o(1))\]
...

[Lorenz90]

"spugna":Quello che hai scritto mi sembra piuttosto falso: come minimo nello sviluppo ci dovrebbe essere un termine che va a $oo$...

Scusate, probabilmente ho posto male la domanda! L'assistente del prof, risolvendo il limite:

$lim_(x->infty) (sqrt(x^2 + 1) - x)/sin(1/x)$

ha sviluppato il tutto in questa maniera:
$lim_(x->infty) (x(1+1/(2x^2) (1+o(1))) - x)/(1/x (1+o(1)))= lim_(x->infty) x/(2x) (1+o(1))=1/2$

Per cui, mi chiedo perché $1/x^2$ diventa $1/(2x^2)$

[spugna2]

"Lollo21":[quote="spugna"]Quello che hai scritto mi sembra piuttosto falso: come minimo nello sviluppo ci dovrebbe essere un termine che va a $oo$...

Scusate, probabilmente ho posto male la domanda! L'assistente del prof, risolvendo il limite:

$lim_(x->infty) (sqrt(x^2 + 1) - x)/sin(1/x)$

ha sviluppato il tutto in questa maniera:
$lim_(x->infty) (x(1+1/(2x^2) (1+o(1))) - x)/(1/x (1+o(1)))= lim_(x->infty) x/(2x) (1+o(1))=1/2$

Per cui, mi chiedo perché $1/x^2$ diventa $1/(2x^2)$[/quote]

Se raccogli $x$ non devi sviluppare $sqrt(x^2+1)$ ma $sqrt(x^2+1)/x=sqrt(1+1/x^2)$. Ponendo $1/x^2=t$, ci si riconduce a $sqrt(1+t)$ per $t->0$, che è notoriamente $1+t/2+o(t)$, o equivalentemente $1+t/2 * (1+o(1))$ (se non ti è chiaro come salta fuori quel $1/2$ ripassati la formula di Taylor)

[Lorenz90]

"spugna":[quote="Lollo21"][quote="spugna"]Quello che hai scritto mi sembra piuttosto falso: come minimo nello sviluppo ci dovrebbe essere un termine che va a $oo$...

Scusate, probabilmente ho posto male la domanda! L'assistente del prof, risolvendo il limite:

$lim_(x->infty) (sqrt(x^2 + 1) - x)/sin(1/x)$

ha sviluppato il tutto in questa maniera:
$lim_(x->infty) (x(1+1/(2x^2) (1+o(1))) - x)/(1/x (1+o(1)))= lim_(x->infty) x/(2x) (1+o(1))=1/2$

Per cui, mi chiedo perché $1/x^2$ diventa $1/(2x^2)$[/quote]

Se raccogli $x$ non devi sviluppare $sqrt(x^2+1)$ ma $sqrt(x^2+1)/x=sqrt(1+1/x^2)$. Ponendo $1/x^2=t$, ci si riconduce a $sqrt(1+t)$ per $t->0$, che è notoriamente $1+t/2+o(t)$, o equivalentemente $1+t/2 * (1+o(1))$ (se non ti è chiaro come salta fuori quel $1/2$ ripassati la formula di Taylor)[/quote]

Grazie!!!..