Stima asintotica

[giammarco.cugliari]

Salve a tutti ragazzi,mi servirebbe una mano con quest'espressione.

Nell'ipotesi in cui x<<1 , allora

$ ((N+1)^2x^(N+1))/(1-x^(N+1))^2~~ 2x^2 $

Ho provato pensando di trascurare i termini del tipo $x^N$ e ottengo:

$ N^2x^N $

[anto_zoolander]

Ma... $x$ a cosa tende? A $1$?

[giammarco.cugliari]

$x$ non tende a niente , viene chiesto di stimare quella quantità, nel caso x<<1 e il risultato è $2x^2$..

Non so proprio come faccia.

[gugo82]

Quella proposta non mi sembra una stima corretta... Da dov'è preso l'esercizio?

[giammarco.cugliari]

Si tratta di un problema di fisica statistica,preso da Solved Problem in Quantum and Statistical Mechanics, un libro di cui già ci sono molte revisioni.

In pratica si studia una fila 1-dimensionale di N siti in equilibrio termico.
Questi siti possono essere aperti(con energia $epsilon$) o chiusi con energia $0$.
Un segnale si produce da un sito aperto e può andare da sinistra a destra solo se il sito vicino(a destra) è aperto.
Il primo sito è sempre aperto e produce un segnale che arriva fino ad un certo punto di questa fila,da questo punto in poi , non possono essere prodotti altri segnali, i.e . tutti i siti sono chiusi.

Devo calcolare alcune quantità, come la fluttuazione dei siti aperti .

Il calcolo incriminato è questo,considerando la sostituzione nel calcolo della media dei siti aperti

$ x=e^(-betaepsilon $ e inoltre $ x=e^(-betaepsilon) $ \( \ll 1 \)

con $n=0,1,2,...N$ ho

$ =(sum_ n n e^(-beta n epsilon))/(sum_ n e^(-beta n epsilon))=xd/(dx)lnsum_ n x^( n )=x/(1-x)-((N+1)x^(N+1))/(1-x^(N+ $

E il testo dice $ ~~ x=e^(-betaepsilon) $ e già questo non me lo spiego del tutto.

Poi considero

$ <(Delta n)^2> =xd/(dx)(xd/(dx)lnsum_ n e^(-beta n epsilon))=x/(1-x)^2-((N+1)^2x^(N+1))/(1-x^(N+1))^2 $

e il testo , nelle condizioni di prima $ x=e^(-betaepsilon) $ \( \ll 1 \) dice

$ <(Delta n)^2>~~ x+2x^2 $

[gugo82]

"Giammy_":Il calcolo incriminato è questo,considerando la sostituzione nel calcolo della media dei siti aperti

$ x=e^(-betaepsilon $ e inoltre $ x=e^(-betaepsilon) $ \( \ll 1 \)

con $n=0,1,2,...N$ ho

$ =(sum_ n n e^(-beta n epsilon))/(sum_ n e^(-beta n epsilon))=xd/(dx)lnsum_ n x^( n )=x/(1-x)-((N+1)x^(N+1))/(1-x^(N+ $

E il testo dice $ ~~ x=e^(-betaepsilon) $ e già questo non me lo spiego del tutto.

Se $x$ è piccolo allora $1-x,1-x^(N+2) ~~ 1$ e $x^(N+1)~~ 0$, quindi ti trovi con l'approssimazione proposta.

"Giammy_":Poi considero

$ <(Delta n)^2> =xd/(dx)(xd/(dx)lnsum_ n e^(-beta n epsilon))=x/(1-x)^2-((N+1)^2x^(N+1))/(1-x^(N+1))^2 $

e il testo , nelle condizioni di prima $ x=e^(-betaepsilon) $ \( \ll 1 \) dice

$ <(Delta n)^2>~~ x+2x^2 $

Qui è sempre il primo addendo che ti dà contributo al secondo ordine, perché dal secondo addendo escono solo termini di grado superiore ad $N$.
Infatti sviluppando con Taylor hai:
\[
\frac{x}{(1-x)^2} = x + 2x^2 + 3x^3+\cdots
\]
e tutto va come deve.