Stabilità di un punto di equilibrio (sistemi dinamici)

[angus89]

Dato il sistema dinamico $(dX)/dt=A*X$

con $A=((0,2,0),(2,0,0),(1,0,1))$, discutere la stabilità dell'origine per $t->+oo$ e per $t->-oo$


Non ho idea di come svolgere questo tipo di esercizi, mi confonde la richiesta stessa, infatti premetto in spoiler qualche definizione

Punto di equilibrio (DEF)

Dato il sistema dinamico $(dX)/dt=F(X)$, $X_0$ è un punto di equlibrio se $F(X_0)=0$

Quindi l'origine è sempre un punto di equilibrio per un sistema lineare omogeneo

Punto stabile (DEF)

Dato il sistema dinamico $(dX)/dt=F(X)$, un punto $S$ si dice stabile se per ogni intorno $U$ di $S$, esiste un altro intorno $V$ di $S$
tale che ogni soluzione con condizione iniziale in $V$ sta in $U$ per ogni $t>=0$

Primo dubbio
Dalla definizione di punto stabile, cosa vuol dire studiare la stabilità per $t$ che tende a qualcosa?

Ad ogni modo ho provato a rispondere alla domanda attenendomi alla definizione.
Si trova che gli autovalori sono 1,2,-2, quindi a meno di cambiare base, la matrice diagonalizzata è
$A=((1,0,0),(0,2,0),(0,0,-2))$

Quindi otteniamo il sistema

$ dx/dt=x $
$ dy/dt=2y $
$ dz/dt=-2z $

risolvendo otteniamo

$x(t)=x_0*e^(t)$
$y(t)=y_0*e^(2t)$
$z(t)=z_0*e^(-2t)$

A questo punto affermo che l'origine non è un punto di equlibrio stabile.
Mi basta infatti prendere come aperto $B((0,0,0),1)$ (la palla centrata nell'origine con raggio 1), ma osserviamo che per ogni aperto $V$ intorno di
$(0,0,0)$ , esiste almeno un $(x_0,y_0,z_0) \in V$ tale che $x_0 != 0 $ (altrimenti l'aperto sarebbe un sottoinsieme di ${x=0}$ che è un chiuso senza
parte interna, quindi l'aperto sarebbe vuoto), quindi certamente questa soluzione esce da $B((0,0,0),1)$, infatti certamente per $t$ abbastanza grande
$x_0 * e^t >1$.

Lo svolgimento vi sembra corretto?
E cosa vuol dire invece discutere la stabilità per $t$ che tende a qualcosa?

[j18eos]

Cia0 angus, questi argomenti li dovrò toccare anch'io per cui non ti saprei controllare il tutto; forse l'esercizio richiede lo studio della asintotica stabilità! Ammesso la correttezza: mancando la semplice stabilità non vi può essere l'asintotica stabilità!