Stabilire se la funzione si può estendere per continuità

[Nick_931]

Salve ragazzi potreste dirmi se la risoluzione di questo esercizio è corretta?

Stabilire se la funzione $f:\mathbb{R}^3 \setminus \ {0} \to \mathbb{R}$

$f(x,y,z)=\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}$

si può estendere a una funzione continua in $\mathbb{R}^3$

In sostanza dovrei fare

$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$

e questo limite deve avere un valore finito? E' sufficiente er concludere che la funzione si può estendere per continuità?

Supponendo di si, faccio il limite

$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$

dove in pratica, applico il limite notevole al numeratore, dopodicchè passo alle coordinate polari. Sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Più semplicemente, considera la restrizione della funzione su una generica retta passante per l'origine:

$\{(x=at),(y=bt),(z=ct):}$

con $a$, $b$ e $c$ non contemporaneamente nulli. Allora, si tratta di calcolare il seguente limite di funzione parametrica dipendente dalla sola variabile $t$, nella speranza che esso dipenda dalla restrizione medesima:

$\lim_{t->0}(e^(a^2bct^4)-1)/(t^4(a^4+b^4+c^4))$

Utilizzando lo sviluppo in serie dell'esponenziale:

$\lim_{t->0}(1+a^2bct^4+o(t^4)-1)/(t^4(a^4+b^4+c^4))=\lim_{t->0}(t^4[a^2bc+o(1)])/(t^4(a^4+b^4+c^4))=(a^2bc)/(a^4+b^4+c^4)$

Come vedi, dipendendo dalla restrizione, il limite non esiste. Ergo, la funzione non può essere estesa con continuità nell'origine. Morale della favola, indipendentemente dal contesto di cui sopra, la speranza è sempre cosa buona.

P.S.
Più in generale, dai un'occhiata all'ultima parte di questa discussione: post684950.html

[Nick_931]

Ti ringrazio molto