Stabilire se la funzione si può estendere per continuità
Salve ragazzi
potreste dirmi se la risoluzione di questo esercizio è corretta?
In sostanza dovrei fare
$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$
e questo limite deve avere un valore finito? E' sufficiente er concludere che la funzione si può estendere per continuità?
Supponendo di si, faccio il limite
$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$
dove in pratica, applico il limite notevole al numeratore, dopodicchè passo alle coordinate polari. Sbaglio?

Stabilire se la funzione $f:\mathbb{R}^3 \setminus \ {0} \to \mathbb{R}$
$f(x,y,z)=\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}$
si può estendere a una funzione continua in $\mathbb{R}^3$
In sostanza dovrei fare
$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$
e questo limite deve avere un valore finito? E' sufficiente er concludere che la funzione si può estendere per continuità?
Supponendo di si, faccio il limite
$\lim_{(x,y,z)\to 0}{\frac{e^{x^2yz}-1}{x^4+y^4+z^4}}$
dove in pratica, applico il limite notevole al numeratore, dopodicchè passo alle coordinate polari. Sbaglio?
Risposte
Più semplicemente, considera la restrizione della funzione su una generica retta passante per l'origine:
$\{(x=at),(y=bt),(z=ct):}$
con $a$, $b$ e $c$ non contemporaneamente nulli. Allora, si tratta di calcolare il seguente limite di funzione parametrica dipendente dalla sola variabile $t$, nella speranza che esso dipenda dalla restrizione medesima:
$\lim_{t->0}(e^(a^2bct^4)-1)/(t^4(a^4+b^4+c^4))$
Utilizzando lo sviluppo in serie dell'esponenziale:
$\lim_{t->0}(1+a^2bct^4+o(t^4)-1)/(t^4(a^4+b^4+c^4))=\lim_{t->0}(t^4[a^2bc+o(1)])/(t^4(a^4+b^4+c^4))=(a^2bc)/(a^4+b^4+c^4)$
Come vedi, dipendendo dalla restrizione, il limite non esiste. Ergo, la funzione non può essere estesa con continuità nell'origine. Morale della favola, indipendentemente dal contesto di cui sopra, la speranza è sempre cosa buona.
P.S.
Più in generale, dai un'occhiata all'ultima parte di questa discussione: post684950.html
$\{(x=at),(y=bt),(z=ct):}$
con $a$, $b$ e $c$ non contemporaneamente nulli. Allora, si tratta di calcolare il seguente limite di funzione parametrica dipendente dalla sola variabile $t$, nella speranza che esso dipenda dalla restrizione medesima:
$\lim_{t->0}(e^(a^2bct^4)-1)/(t^4(a^4+b^4+c^4))$
Utilizzando lo sviluppo in serie dell'esponenziale:
$\lim_{t->0}(1+a^2bct^4+o(t^4)-1)/(t^4(a^4+b^4+c^4))=\lim_{t->0}(t^4[a^2bc+o(1)])/(t^4(a^4+b^4+c^4))=(a^2bc)/(a^4+b^4+c^4)$
Come vedi, dipendendo dalla restrizione, il limite non esiste. Ergo, la funzione non può essere estesa con continuità nell'origine. Morale della favola, indipendentemente dal contesto di cui sopra, la speranza è sempre cosa buona.
P.S.
Più in generale, dai un'occhiata all'ultima parte di questa discussione: post684950.html
Ti ringrazio molto
