Stabilire se la funzione ha asintoto.

[21zuclo]

Ciao a tutti, controllate e ditemi se ho svolto correttamente questo esercizio, a me viene che non vi è asintoto, ah se esiste un modo più veloce per calcolare la $q$ scrivetelo pure. Grazie in anticipo.

Stabilire se la funzione $f(x)=sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))$ ammette asintoto per $x\rightarrow+\infty$

ho provato a svolgere così

$\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))=\lim_{x\rightarrow+\infty}|x|sqrt((1/x+3)/((5)/(x^2)+1))=+\infty$

$m=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)/x=3$

$q=\lim_{x\rightarrow+\infty}sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))-3x=\lim_{x\rightarrow+\infty}((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6)-9x^2)/(sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))+3x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} ((x^7+3x^8-45x^6-9x^8)/(5x^4+x^6))/(x(sqrt((1/x+3)/((5)/(x^2)+1))+3))=\lim_{x\rightarrow+\infty}((x^7-6x^8-45x^6)/(5x^4+x^6))/(x(sqrt((1/x+3)/((5)/(x^2)+1))+3))=$

$=\lim_{x\rightarrow+\infty}((x^8(1/x-6-(45)/(x^2)))/(x^6((5)/(x^2)+1)))/(x(sqrt(3)+3))=\lim_{x\rightarrow+\infty}(-6x^2)/(x(sqrt(3)+3))=-\infty$


siccome $q=-\infty$..non esiste asintoto.

Confermate?

[chiaraotta1]

Mi pare che
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)/x=sqrt(3)$

[21zuclo]

"chiaraotta":Mi pare che
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)/x=sqrt(3)$

o cavolo..hai ragione.. grazie per averlo visto! rimedio subito!

ora il $q$ è esatto?..

$q=\lim_{x\rightarrow+\infty} sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))-sqrt(3)x=\lim_{x\rightarrow+\infty}((x^7+3x^8-15x^6-3x^8)/(5x^4+x^6))/(sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))+sqrt(3)x)=\lim_{x\rightarrow+\infty} ((x^7(1-15/x))/(x^6((5)/(x^2)+1)))/(x(sqrt((1/x+3)/((5)/(x^2)+1))+\sqrt(3)))=\lim_{x\rightarrow+\infty}(x)/(x(2sqrt(3)))=(1)/(2\sqrt(3))$

QUINDI esiste asintoto per $x\rightarrow+\infty$ ed è $y=sqrt(3)x+(1)/(2\sqrt(3))$

[chiaraotta1]

Trovo anch'io $q=1/(2sqrt(3))=sqrt(3)/6$

Comunque non era più semplice partire semplificando $x^4$ nella frazione (con $x!=0$)?

[giuscri]

"21zuclo": QUINDI esiste asintoto per $x\rightarrow+\infty$ ed è $y=sqrt(3)x+(1)/(2\sqrt(3))$

Trovo anche io questo risultato, ma secondo me hai fatto più conti del dovuto per trovare il coefficiente angolare; il termine noto forse era più elegante tirarlo fuori usando MacLaurin.

[21zuclo]

"chiaraotta":Trovo anch'io $q=1/(2sqrt(3))=sqrt(3)/6$

Comunque non era più semplice partire semplificando $x^4$ nella frazione (con $x!=0$)?

bé che ti venga anche a te il $q$ uguale è una buona cosa

fammi vedere però come avresti fatto, sono curioso se c'è una strada più veloce ben venga

perchè non capisco dove avresti semplicato $x^4$..

[chiaraotta1]

"21zuclo":
....
perchè non capisco dove avresti semplicato $x^4$..

$f(x)=sqrt((x^7+3x^8)/(5x^4+x^6))=sqrt((x^3+3x^4)/(5+x^2))$, con $x!=0$.