Stabilire se la funzione è differenziabile
Salve a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare se una funzione è o meno differenziabile:
\(\displaystyle f(x,y)=x^{2}+x(|y|-1)+2y \)
Intendevo prima dimostrare che la funzione in (0,0) è continua, calcolare se le ammette le derivate nello stesso punto ed applicare la formula del differenziale:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow0)\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)x-f_{y}(0,0)y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
e vedere se converge a 0.
Il mio problema è prima di tutto la dimostrazione che la funzione sia continua nell'origine. Ho fatto il limite della funzione per (x,y) che tendono a 0 e viene ovviamente 0. Ma questo non basta, in quanto dovrei anche dimostrare l'uniforme continuità:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow(0,0))sup|f(x,y)| \)
Per fare questo volevo trovare le coordinate dell'estremo superiore derivando la funzione rispetto ad x e y e ponendo le stesse derivate pari a 0, risolvendo il sistema, lineare o meno. Però nella funzione mi compare un valore assoluto che non so come gestire, in quanto il mio punto critico è proprio lo 0, che notoriamente non va molto d'accordo con il valore assoluto.
Sapreste darmi una mano?
Grazie 1000
Buona domenica
\(\displaystyle f(x,y)=x^{2}+x(|y|-1)+2y \)
Intendevo prima dimostrare che la funzione in (0,0) è continua, calcolare se le ammette le derivate nello stesso punto ed applicare la formula del differenziale:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow0)\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)x-f_{y}(0,0)y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
e vedere se converge a 0.
Il mio problema è prima di tutto la dimostrazione che la funzione sia continua nell'origine. Ho fatto il limite della funzione per (x,y) che tendono a 0 e viene ovviamente 0. Ma questo non basta, in quanto dovrei anche dimostrare l'uniforme continuità:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow(0,0))sup|f(x,y)| \)
Per fare questo volevo trovare le coordinate dell'estremo superiore derivando la funzione rispetto ad x e y e ponendo le stesse derivate pari a 0, risolvendo il sistema, lineare o meno. Però nella funzione mi compare un valore assoluto che non so come gestire, in quanto il mio punto critico è proprio lo 0, che notoriamente non va molto d'accordo con il valore assoluto.
Sapreste darmi una mano?
Grazie 1000
Buona domenica
Risposte
Ma no, che stai facendo? Cos'è questo pastrocchio? E' evidente che quella funzione è continua su tutto \(\mathbb{R}^2\), perché è ottenuta sommando, moltiplicando e componendo funzioni polinomiali e valori assoluti, e tutte queste sono funzioni continue ovunque. Cancella tutto e rifai, tenendo d'occhio la teoria.
Si, in questo caso lo so che si può vedere come composizione di funzioni continue su tutto il piano, ma cercavo uno strumento che potesse funzionare in qualunque situazione, e quello che ho porporato è il procedimento completo che riporta il mio libro.... ma che in questo caso non sono in grado di applicare
Ripeto: no, stai facendo moltissima confusione perché cerchi di applicare meccanicamente dei metodi invece di capire la teoria. Lascia stare il procedimento del libro, che oltretutto mostri di non avere capito, e ragiona con la tua testa. E' chiaro che la funzione è continua ovunque, quindi prosegui l'analisi cercando di stabilire dove essa sia derivabile parzialmente (ovvero derivabile rispetto ad \(x\) e rispetto ad \(y\)). Infine vorrai capire dove la funzione è differenziabile.
Si tratta solo di raccogliere le definizioni e applicarle avendo cura di ragionare ad ogni passo, e di non fare cose a macchinetta.
Si tratta solo di raccogliere le definizioni e applicarle avendo cura di ragionare ad ogni passo, e di non fare cose a macchinetta.
Va bene, la sciamo stare questo esempio:
facciamone un'altro:
\(\displaystyle \begin{cases}
sin\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & (x,y)\neq(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
In questo caso devo applicare il procedimento, giusto??
facciamone un'altro:
\(\displaystyle \begin{cases}
sin\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & (x,y)\neq(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
In questo caso devo applicare il procedimento, giusto??
Certo che no. Anche qui:
Questo esempio è assolutamente elementare. Non ti fare fregare dal suo aspetto terribile.
Si tratta solo di raccogliere le definizioni e applicarle avendo cura di ragionare ad ogni passo, e di non fare cose a macchinetta.
Questo esempio è assolutamente elementare. Non ti fare fregare dal suo aspetto terribile.
Mi potresti dire come faresti te??
Io non riesco a capire
Io non riesco a capire
"Catanzani":
Va bene, la sciamo stare questo esempio:
facciamone un'altro:
\(\displaystyle \begin{cases}
sin\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & (x,y)\neq(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
In questo caso devo applicare il procedimento, giusto??
Sono io che non ho capito un tubo, o questa è una presa in giro?
(parlo dell'esercizio eh...)
"Plepp":
Sono io che non ho capito un tubo, o questa è una presa in giro?
Probabilmente sarà..
\[\displaystyle \begin{cases}
\frac{\sin\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & (x,y)\neq(0,0)\\
1 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \]
Si, certo, scusate ragazzi
Allora, io non so niente!
Provo a fare delle considerazioni:
la funzione che mostri è definita per qualsiasi valore di x e y, purchè siano contemporaneamente entrambe diverse da 0.
Dopodichè qualsiasi valore io assegni ad x e y, ottengo sempre e comunque la stessa cosa al numeratore e al denominatore di conseguenza il valore della frazione sarà sempre uguale a 1 e il valore della funzione sarà sempre uguale al seno
di 1, che sarà un numero positivo ma inferiore a 1.
Allora io mi immagino un piano la cui quota vale il seno di 1, bucato sopra l'origine, inoltre vedo isolato un punto sull'asse z a quota 1.
Ci ho preso?
Gasp io mi riferivo alla precedente!
Provo a fare delle considerazioni:
la funzione che mostri è definita per qualsiasi valore di x e y, purchè siano contemporaneamente entrambe diverse da 0.
Dopodichè qualsiasi valore io assegni ad x e y, ottengo sempre e comunque la stessa cosa al numeratore e al denominatore di conseguenza il valore della frazione sarà sempre uguale a 1 e il valore della funzione sarà sempre uguale al seno
di 1, che sarà un numero positivo ma inferiore a 1.
Allora io mi immagino un piano la cui quota vale il seno di 1, bucato sopra l'origine, inoltre vedo isolato un punto sull'asse z a quota 1.
Ci ho preso?
Gasp io mi riferivo alla precedente!
@Enrico: Ok, ok. Anche in questo caso, che te ne fai della continuità uniforme?
Perché per dire che una funzione di più variabili è continua devo andare a verificare anche la continuità uniforme. Infatti nel caso una funzione non sia continua, allora non è nemmeno differenziabile, e quindi mi risparmio non pochi calcoli !!
Questa mi è nuova (continua $implies$ continua uniformemente, in generale)...Io direi che semplicemente che $f$ è continua (lo verifichi calcolando il limite all'origine), per poi poter verificare la sua differenziabilità tramite la definizione o col teorema del differenziale totale.
No, facendo solo il limite all'origine non puoi dire che è continua, devi anche fare il limite per l'estremo superiore, o il massimo, della funzione
"Catanzani":
Perché per dire che una funzione di più variabili è continua devo andare a verificare anche la continuità uniforme.
Ma che stai dicendo? Mi vuoi dire che per verificare che $f$ è continua vai a verificare se $f$ è uniformemente continua?? Bah...
Io credo di si
E credi male... che bisogno c'era allora del teorema di Heine-Cantor? Nessuno, visto che se $f$ è continua, secondo te, è gia uniformemente continua, ovunque essa sia definita...
E' vero questo:
Teorema 1. Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione uniformemente continua. Allora $f$ è continua.
Teorema 2 (di Heine-Cantor). Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ continua e $A$ un compatto. Allora $f$ è uniformemente continua.
Mi pare che tu abbia "invertito le frecce"
EDIT: a parte i teoremi, se una funzione continua fosse stata anche uniformemente continua, non credo che ci sarebbe stato bisogno di mettere quell'aggettivo (uniformemente), quindi ci saresti potuto arrivare comunque
EDIT$^2$: lo dice anche lui
http://www.youtube.com/watch?v=raTChqHosqE
E' vero questo:
Teorema 1. Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ una funzione uniformemente continua. Allora $f$ è continua.
Teorema 2 (di Heine-Cantor). Sia $f:A\subseteq\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ continua e $A$ un compatto. Allora $f$ è uniformemente continua.
Mi pare che tu abbia "invertito le frecce"
EDIT: a parte i teoremi, se una funzione continua fosse stata anche uniformemente continua, non credo che ci sarebbe stato bisogno di mettere quell'aggettivo (uniformemente), quindi ci saresti potuto arrivare comunque
EDIT$^2$: lo dice anche lui
http://www.youtube.com/watch?v=raTChqHosqE
Si, ho capito quello che dice i teorema di Heine, ma guarda questo esempio:
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{ysinx}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
Se vai a fare il limite, ad esempio in coordinate polari, in 0 ottieni:
\(\displaystyle lim(\rho\rightarrow0)\frac{sin\theta sin(\rho cos\theta)}{\rho^{2}cos^{2}\theta+3\rho^{2}sin^{2}\theta}=\begin{cases}
0 & sin\theta=0\\
0 & cos\theta=0\end{cases} \)
con:
\(\displaystyle x=\rho cos\theta \)
\(\displaystyle y=\rho sin\theta \)
Quindi secondo quello che dite voi, la funzione è continua in 0.
Questo, però, non basta, in quanto essa non è uniformemente continua, infatti se provi con il metodo delle maggiorazioni ottieni sempre funzioni che non sono mai infinitesimi.
Mi rendo conto che in un certo senso sia una contraddizione quello che dico, ma non riesco ad esprimerlo meglio.
Forse con questo esempio mi sono spiegato meglio
Grazie a tutti e scusate per l'insistenza, ma sono quasi sicuro di quello che dico.....
\(\displaystyle \begin{cases}
\frac{ysinx}{x^{4}+y^{2}} & (x,y)\neq(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)\end{cases} \)
Se vai a fare il limite, ad esempio in coordinate polari, in 0 ottieni:
\(\displaystyle lim(\rho\rightarrow0)\frac{sin\theta sin(\rho cos\theta)}{\rho^{2}cos^{2}\theta+3\rho^{2}sin^{2}\theta}=\begin{cases}
0 & sin\theta=0\\
0 & cos\theta=0\end{cases} \)
con:
\(\displaystyle x=\rho cos\theta \)
\(\displaystyle y=\rho sin\theta \)
Quindi secondo quello che dite voi, la funzione è continua in 0.
Questo, però, non basta, in quanto essa non è uniformemente continua, infatti se provi con il metodo delle maggiorazioni ottieni sempre funzioni che non sono mai infinitesimi.
Mi rendo conto che in un certo senso sia una contraddizione quello che dico, ma non riesco ad esprimerlo meglio.
Forse con questo esempio mi sono spiegato meglio
Grazie a tutti e scusate per l'insistenza, ma sono quasi sicuro di quello che dico.....
Ascolta Plepp che ti sta dando suggerimenti validi. Tu stai mescolando cose diverse facendo un gran minestrone: ti riferisci al fatto che, per calcolare un limite usando coordinate polari, occorre uniformità rispetto alla variabile angolare \(\theta\). Ma questo è un fenomeno proprio di quel sistema di coordinate, non c'entra nulla con la continuità uniforme, e non ha analogo in coordinate cartesiane.
Per il calcolo dei limiti usando coordinate polari vedi qui:
sui-limiti-delle-funzioni-a-piu-variabili-t51148.html#p369804
Faccio osservare che si tratta di una tecnica generale per il calcolo di limiti, non per stabilire la differenziabilità di una funzione.
sui-limiti-delle-funzioni-a-piu-variabili-t51148.html#p369804
Faccio osservare che si tratta di una tecnica generale per il calcolo di limiti, non per stabilire la differenziabilità di una funzione.
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