Stabilire se la funzione è differenziabile
Salve a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare se una funzione è o meno differenziabile:
\(\displaystyle f(x,y)=x^{2}+x(|y|-1)+2y \)
Intendevo prima dimostrare che la funzione in (0,0) è continua, calcolare se le ammette le derivate nello stesso punto ed applicare la formula del differenziale:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow0)\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)x-f_{y}(0,0)y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
e vedere se converge a 0.
Il mio problema è prima di tutto la dimostrazione che la funzione sia continua nell'origine. Ho fatto il limite della funzione per (x,y) che tendono a 0 e viene ovviamente 0. Ma questo non basta, in quanto dovrei anche dimostrare l'uniforme continuità:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow(0,0))sup|f(x,y)| \)
Per fare questo volevo trovare le coordinate dell'estremo superiore derivando la funzione rispetto ad x e y e ponendo le stesse derivate pari a 0, risolvendo il sistema, lineare o meno. Però nella funzione mi compare un valore assoluto che non so come gestire, in quanto il mio punto critico è proprio lo 0, che notoriamente non va molto d'accordo con il valore assoluto.
Sapreste darmi una mano?
Grazie 1000
Buona domenica
\(\displaystyle f(x,y)=x^{2}+x(|y|-1)+2y \)
Intendevo prima dimostrare che la funzione in (0,0) è continua, calcolare se le ammette le derivate nello stesso punto ed applicare la formula del differenziale:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow0)\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_{x}(0,0)x-f_{y}(0,0)y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \)
e vedere se converge a 0.
Il mio problema è prima di tutto la dimostrazione che la funzione sia continua nell'origine. Ho fatto il limite della funzione per (x,y) che tendono a 0 e viene ovviamente 0. Ma questo non basta, in quanto dovrei anche dimostrare l'uniforme continuità:
\(\displaystyle lim((x,y)\rightarrow(0,0))sup|f(x,y)| \)
Per fare questo volevo trovare le coordinate dell'estremo superiore derivando la funzione rispetto ad x e y e ponendo le stesse derivate pari a 0, risolvendo il sistema, lineare o meno. Però nella funzione mi compare un valore assoluto che non so come gestire, in quanto il mio punto critico è proprio lo 0, che notoriamente non va molto d'accordo con il valore assoluto.
Sapreste darmi una mano?
Grazie 1000
Buona domenica
Risposte
Ah, quindi vediamo se ho capito bene... se io usassi solamente le coordinate cartesiane basterebbe fare il limite semplice al punto critico. Visto che invece io vado ad utilizzare le coordinate polari allora quello che controllo dopo aver fatto il limite stesso non è inerente alla continuità della funzione ma all'omogeneita del risultato ottenuto rispetto a tutte le possibili direzioni. Giusto?
NO NO NO. Non è giusto. Queste differenze sono solo a livello tecnico, ciò che stai facendo è IN OGNI CASO solo calcolare un limite. Tutto il resto viene in un secondo momento. Sei sicuro di sapere bene cosa significhi, per definizione, che una funzione è continua in un punto? Riporta qui la definizione, per favore.
Ragazzi, ho parlato oggi con il mio professore, mi ha un po chiarito la faccenda.... il problema è che calcolare i limiti in 2 variabili utilizzando le coordinate polari non è uno scherzo, in quanto occorrerebbe una tecnica, detta dei limiti successivi, che è abbastanza indaginosa.Per questo motivo si preferiscono usare le coordinate polari. Il problema di quest'ultime è che per calcolare il limite occorre anche verificare l'omogeneità del risultato ottenuto rispetto a tutti gli angoli, ed è qui il discorso della maggiorazione con una quantità infinitesima ed indipendente dall'angolo, oppure la verifica che il limite dell'estremo superiore della funzione stessa sia un infinitesimo.
Grazie a tutti
Saluti
Grazie a tutti
Saluti
Enrico, era proprio quello che cercava di dirti Dissonance (circa l'uniformità rispetto a $\theta$)...sta di fatto, che per l'esempio che hai postato (quello del seno), tutte queste "pippe" sono inutili 
lì si vede subito che il limite coincide $f(0)$, per cui hai la continuità, e poi puoi verificare la differenziabilità...
lì si vede subito che il limite coincide $f(0)$, per cui hai la continuità, e poi puoi verificare la differenziabilità...
Si, infatti, avevate ragione.... chiedo scusa.
"Catanzani":
Si, infatti, avevate ragione.... chiedo scusa.
Prego, ma resta il fatto che hai una grande confusione mentale in testa. Ti suggerisco di correre ai ripari, studiando un po' di teoria sull'argomento "limiti e continuità". Sono ottime le lezioni di http://www.batmath.it .
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