Stabilire se la funzione a due variabili ammette infiniti punti di massimo e/o minimo
Salve, è il primo topic che apro. Anticipo di aver letto il regolamento per la pubblicazione di esercizi e spero quindi di fare tutto nella maniera corretta. Allora...
Ho spulciato un po' sul forum alla ricerca di esercizi di massimo e minimo per funzione in due variabili, molti dei quali mi hanno aiutato nella risoluzione di ogni sorta di problema di tale tipologia. Ora però sono di fronte a un problema di cui non mi è ben chiaro quale sia il primo passo da compiere. Ovviamente non chiedo che mi venga data la soluzione dell'esercizio, mi piacerebbe però che mi sia fornito il primo passo da compiere. L'esercizio è il seguente:
Sia f: A → R dove A = [1/2, 3]×[1, 2] e f(x, y) =
$\int_1^y(e^(2xt)/t+x)dt$
Quale/i delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?
(1) f ammette infiniti punti di massimo.
(2) f ammette infiniti punti di minimo
Il testo mi fornisce la soluzione, ovvero la seconda, ma anche sapendo il risultato finale non riesco a procedere.
Mi scuso se in qualche modo ho arrecato disturbo.
Ho spulciato un po' sul forum alla ricerca di esercizi di massimo e minimo per funzione in due variabili, molti dei quali mi hanno aiutato nella risoluzione di ogni sorta di problema di tale tipologia. Ora però sono di fronte a un problema di cui non mi è ben chiaro quale sia il primo passo da compiere. Ovviamente non chiedo che mi venga data la soluzione dell'esercizio, mi piacerebbe però che mi sia fornito il primo passo da compiere. L'esercizio è il seguente:
Sia f: A → R dove A = [1/2, 3]×[1, 2] e f(x, y) =
$\int_1^y(e^(2xt)/t+x)dt$
Quale/i delle seguenti affermazioni è/sono certamente vera/e?
(1) f ammette infiniti punti di massimo.
(2) f ammette infiniti punti di minimo
Il testo mi fornisce la soluzione, ovvero la seconda, ma anche sapendo il risultato finale non riesco a procedere.
Mi scuso se in qualche modo ho arrecato disturbo.
Risposte
Saprai già che per calcolare i punti di minimo e di massimo anzitutto devi ricercare punti critici, ovvero punti in cui il gradiente della funzione si annulla. Non porti problemi tanto la funzione è liscia in x e y.
Calcola semplicemente le derivate parziali Fx e Fy. In x è banale, in y dovrai applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Se già lo sapevi e il problema è di calcolo, ossia successivo, allora comunicalo pure, ma credo che basti così, già vedo che se derivi rispetto x ti si semplifica il calcolo dell'integrale, mentre con il teorema fondamentale il problema non sussiste non devi calcolare alcuna primitiva.
Ora Fx è espressa in termini integrali, ma puoi trovare la primitiva facilmente. Trovata calcola Fxx e Fxy.
Con Fy calcoli facilmente Fyy. Fyx sarà uguale a Fxy per il teorema di Schwarz.
Ora calcoli Fxx,Fxy, Fyy e l'Hessiano nei punti critici e vedi come si comportano. In questo modo dovresti trovare i punti di massimo, di minimo e di sella. Se per qualche motivo una curva intera risulta di minimo, chiaramente i punti di minimo sono infiniti.
Calcola semplicemente le derivate parziali Fx e Fy. In x è banale, in y dovrai applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Se già lo sapevi e il problema è di calcolo, ossia successivo, allora comunicalo pure, ma credo che basti così, già vedo che se derivi rispetto x ti si semplifica il calcolo dell'integrale, mentre con il teorema fondamentale il problema non sussiste non devi calcolare alcuna primitiva.
Ora Fx è espressa in termini integrali, ma puoi trovare la primitiva facilmente. Trovata calcola Fxx e Fxy.
Con Fy calcoli facilmente Fyy. Fyx sarà uguale a Fxy per il teorema di Schwarz.
Ora calcoli Fxx,Fxy, Fyy e l'Hessiano nei punti critici e vedi come si comportano. In questo modo dovresti trovare i punti di massimo, di minimo e di sella. Se per qualche motivo una curva intera risulta di minimo, chiaramente i punti di minimo sono infiniti.
grazie cheetan per la risposta, avevo cominciato a trovarmi le derivate parziali ma, come hai detto tu, devo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Non ero molto convinto di quello che stavo facendo. Adesso provo subito a risolvere il problema. Grazie ancora per la dritta.
Credo mi sfugga qualcosa di banale ma fondamentale:
voglio la derivata parziale rispetto a x, quindi ho $d/dxF(y)-d/dxF(1)$ giusto? Ma a questo punto la la $F(y)$ non è $0*F'(y)$? Stessa cosa per la $F(1)$.
Scusate la mia ignoranza.
voglio la derivata parziale rispetto a x, quindi ho $d/dxF(y)-d/dxF(1)$ giusto? Ma a questo punto la la $F(y)$ non è $0*F'(y)$? Stessa cosa per la $F(1)$.
Scusate la mia ignoranza.
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