Stabilire se il seguente integrale converge
Salve a tutti,ecco l'integrale:
$int_1^infty (1+x^3)/(1+x^4+x^6e^-x) dx$
Sono i primi integrali generalizzati che svolgo...io pensavo di utilizzare il criterio del confronto in questo modo:
$\lim_{x \to \infty} ((1+x^3)/(1+x^4+x^6e^-x))/(1/x^a) dx$ poi portavo sopra $x^a$ ed ottenevo
$\lim_{x \to \infty} ((x^a+x^(3+a))/(1+x^4+x^6e^-x)) dx$ ma poi?
E' giusto fin'adesso??help
$int_1^infty (1+x^3)/(1+x^4+x^6e^-x) dx$
Sono i primi integrali generalizzati che svolgo...io pensavo di utilizzare il criterio del confronto in questo modo:
$\lim_{x \to \infty} ((1+x^3)/(1+x^4+x^6e^-x))/(1/x^a) dx$ poi portavo sopra $x^a$ ed ottenevo
$\lim_{x \to \infty} ((x^a+x^(3+a))/(1+x^4+x^6e^-x)) dx$ ma poi?
E' giusto fin'adesso??help
Risposte
Secondo me ti sei andato un pò ad incasinare con quel confronto. O meglio, prima di utilizzarlo cerca di osservare il tuo integrale, e trai qualche considerazione preliminare.
Ad esempio, per $x->+\infty$, hai che $x^6/e^x = 0$, pui puoi "fare a meno di considerare" gli 1, che perdono di valore studiando per $x->+\infty$
a questo punto ti ritrovi $\int_{1}^{+\infty}x^3/x^4 dx$ e da qui trai le tue conclusioni..
Ad esempio, per $x->+\infty$, hai che $x^6/e^x = 0$, pui puoi "fare a meno di considerare" gli 1, che perdono di valore studiando per $x->+\infty$
a questo punto ti ritrovi $\int_{1}^{+\infty}x^3/x^4 dx$ e da qui trai le tue conclusioni..
Grazie stefano...a quel punto potrei confrontare con $1/x$ e visto che il risultato è un numero $r in RR$ e che $1/x$ diverge allora anche la nostra f(x) diverge giusto?
"matteomors":
Grazie stefano...a quel punto potrei confrontare con $1/x$ e visto che il risultato è un numero $r in RR$ e che $1/x$ diverge allora anche la nostra f(x) diverge giusto?
Il fatto che venga un numero reale non è importante, cioè se tu confrontassi $1/x^2$ con $1/x^2$ otteresti sempre un reale, ma non concluderesti nulla.
Puoi rifarti al fatto che l' integrale generalizzato per $x->+\infty$ di $1/x^a$ diverse per $a<= 1$ che è il tuo caso. Quindi diverge..
Ok...ne ho fatto un altro che posto ancora qui per non caricare di post...
$int_1^infty xe^(-x^2)$.
Confronto con $1/x^2$ ed ottengo $x^3/e^(x^2)$ che fa zero...e visto che $1/x^2$ converge allora anche la mia f(x) converge giusto?
$int_1^infty xe^(-x^2)$.
Confronto con $1/x^2$ ed ottengo $x^3/e^(x^2)$ che fa zero...e visto che $1/x^2$ converge allora anche la mia f(x) converge giusto?
Si va bene..
Ho l'ultimo scusami...
$int_0^infty e^(-12(sqrt(x^3+x+1)+x^2) dx$
Se faccio il limite tende a zero...potrei confrontarlo sempre con $1/x^a$ che poi verrebbe la forma $0/0$ risolvibile con del'hospital.
Ma il punto è che l'esponenziale rimarrebbe lo stesso... ha senso farlo?
$int_0^infty e^(-12(sqrt(x^3+x+1)+x^2) dx$
Se faccio il limite tende a zero...potrei confrontarlo sempre con $1/x^a$ che poi verrebbe la forma $0/0$ risolvibile con del'hospital.
Ma il punto è che l'esponenziale rimarrebbe lo stesso... ha senso farlo?
"matteomors":
Ho l'ultimo scusami...
$int_0^infty e^(-12(sqrt(x^3+x+1)+x^2) dx$
Se faccio il limite tende a zero...potrei confrontarlo sempre con $1/x^a$ che poi verrebbe la forma $0/0$ risolvibile con del'hospital.
Ma il punto è che l'esponenziale rimarrebbe lo stesso... ha senso farlo?
Il problema non sussiste per $x -> 0$, in quanto avresti semplicemente $int_0^infty 1/e^12dx$ cioè una costante..
No scusa mi sono espresso male... volevo dire " se faccio il limite per x che tende ad infinito il tutto tende a zero"..
eh ma direi che ti sei espresso male lo stesso.. 
Se fai il limite per $x->+\infty$ e usi il confronto con $1/x^a$ ritorni al caso $x^a/e^(+..)$ (che è un rapporto di infiniti, non di zeri) e sai che converge per quasiasi $a$.
Se fai il limite per $x->+\infty$ e usi il confronto con $1/x^a$ ritorni al caso $x^a/e^(+..)$ (che è un rapporto di infiniti, non di zeri) e sai che converge per quasiasi $a$.
Ahah hai ragione:) quindi arrivato al punto $x^a/e^(...)$ sfrutti il fatto che $lim_{x to infty} x^n/a^x=0$ ?
Sisi certo..
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