Stabilire per quali valori l'integrale converge
Salve a tutti! Trovo problemi nello svolgimento di questo esercizio:
Stabilire per quali valori del parametro $\alpha$ > 0 il seguente integrale generalizzato converge:
$\int_0^{infty}(e^(αx)-1)/(x^(2α)*e^(αx))dx$
La funzione proposta è continua e positiva in tutto l'intervallo (0;+$infty$) pertanto, al fine di
stabilire se l'integrale proposto converge, è sufficiente studiare il comportamento di f per x-->0+ e per
x-->+$oo$. Probabilmente dev'essere utilizzato lo sviluppo di Mc Laurin ma ho problemi con questo. Avrei bisogno quindi di una spiegazioni dei passaggi successivi. Grazie!
Stabilire per quali valori del parametro $\alpha$ > 0 il seguente integrale generalizzato converge:
$\int_0^{infty}(e^(αx)-1)/(x^(2α)*e^(αx))dx$
La funzione proposta è continua e positiva in tutto l'intervallo (0;+$infty$) pertanto, al fine di
stabilire se l'integrale proposto converge, è sufficiente studiare il comportamento di f per x-->0+ e per
x-->+$oo$. Probabilmente dev'essere utilizzato lo sviluppo di Mc Laurin ma ho problemi con questo. Avrei bisogno quindi di una spiegazioni dei passaggi successivi. Grazie!
Risposte
Ciao 
Come hai giustamente osservato i problemi sono due: in $x=0$ e per $x \to +infty$. Analizzali separatamente, usando ad esempio il criterio del confronto asintotico. Ricordati un limite notevole dell'esponenziale (non dovrebbe servirti Mc Laurin, basta un'approssimazione blanda, del prim'ordine).
Ricorda inoltre il comportamento degli integrali di funzioni del tipo $1/x^a$.
Come hai giustamente osservato i problemi sono due: in $x=0$ e per $x \to +infty$. Analizzali separatamente, usando ad esempio il criterio del confronto asintotico. Ricordati un limite notevole dell'esponenziale (non dovrebbe servirti Mc Laurin, basta un'approssimazione blanda, del prim'ordine).
Ricorda inoltre il comportamento degli integrali di funzioni del tipo $1/x^a$.
Una aggiunta: in $x\to+\infty$ la cosa risulta abbastanza semplice, per la presenza degli esponenziali, mentre in $x\to 0$ bisogna stare attenti al comportamento asintotico del numeratore.
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