Stabilire per quali valori converge la serie.
Per fare questo esercizio, che è una serie a segni alterni, occorrerebbe utilizzare il criterio dell'assoluta convergenza se non vado errato, porre tutto in valore assoluto, però non so di preciso come fare poi per determinare gli x per cui questa serie converge, bisogna utilzzare gli sviluppi di taylor?
Ecco l'esercizio:
$\ sum_{n=1}^oo (-3)^n/sqrt(n)*((logx)^2/(1+2(logx)^2))^n$
Grazie a chi risponderà, chiedo inoltre un aiuto: se potete darmi qualche dritta su dove trovare esercizi svolti di questa tipologia, dato che di questo tipo saranno sul compito(analisi1).
Grazie, ciao.
Ecco l'esercizio:
$\ sum_{n=1}^oo (-3)^n/sqrt(n)*((logx)^2/(1+2(logx)^2))^n$
Grazie a chi risponderà, chiedo inoltre un aiuto: se potete darmi qualche dritta su dove trovare esercizi svolti di questa tipologia, dato che di questo tipo saranno sul compito(analisi1).
Grazie, ciao.
Risposte
Nessuno può darmi qualche dritta please?
Io credo che questa serie diverge
Perchè
$1/sqrt(n)$ è come $1/n^1/2$ divergente
poi ho visto che $Log(x)=x$ stima asintotica e diventerebbe
$((-3*(logx)^2)^n)/(1+2(logx)^2)^n$
forse questo argomento dovrebbe essere messo tra $-1<......<1$ cosi da diventare convergente.
Aspetta consigli migliori xD
Perchè
$1/sqrt(n)$ è come $1/n^1/2$ divergente
poi ho visto che $Log(x)=x$ stima asintotica e diventerebbe
$((-3*(logx)^2)^n)/(1+2(logx)^2)^n$
forse questo argomento dovrebbe essere messo tra $-1<......<1$ cosi da diventare convergente.
Aspetta consigli migliori xD
Grazie per la risposta. Qualche altra considerazione?
Ad esempio, puoi provare ad introdurre una variabile ausiliaria.
Chiama [tex]$y=\frac{\ln^2 x}{1+2\ln^2 x}$[/tex], cosicché la tua serie diventa [tex]$\sum_n \frac{(-3)^n}{\sqrt{n}} \ y^n$[/tex].
Ora è facile applicare alla nuova serie un qualunque criterio di convergenza assoluta, ad esempio quello del rapporto; in tal modo troverai una limitazione sulla variabile ausiliaria del tipo [tex]$|y|<\text{qualcosa}$[/tex], [tex]$|y|>\text{qualcosa}$[/tex] oppure [tex]$\text{qualcosa} <|y|<\text{qualcos'altro}$[/tex].
Quello che ti rimane da fare è sostituire "a ritroso" nella limitazione [tex]$y=\frac{\ln^2 x}{1+2\ln^2 x}$[/tex] e risolvere la/e disequazione/i corrispondente/i rispetto alla "vera" variabile [tex]$x$[/tex].
P.S.: Non dimenticare di verificare, in primis, per quali valori di [tex]$x$[/tex] ha senso scrivere gli addendi della tua serie iniziale.
Chiama [tex]$y=\frac{\ln^2 x}{1+2\ln^2 x}$[/tex], cosicché la tua serie diventa [tex]$\sum_n \frac{(-3)^n}{\sqrt{n}} \ y^n$[/tex].
Ora è facile applicare alla nuova serie un qualunque criterio di convergenza assoluta, ad esempio quello del rapporto; in tal modo troverai una limitazione sulla variabile ausiliaria del tipo [tex]$|y|<\text{qualcosa}$[/tex], [tex]$|y|>\text{qualcosa}$[/tex] oppure [tex]$\text{qualcosa} <|y|<\text{qualcos'altro}$[/tex].
Quello che ti rimane da fare è sostituire "a ritroso" nella limitazione [tex]$y=\frac{\ln^2 x}{1+2\ln^2 x}$[/tex] e risolvere la/e disequazione/i corrispondente/i rispetto alla "vera" variabile [tex]$x$[/tex].
P.S.: Non dimenticare di verificare, in primis, per quali valori di [tex]$x$[/tex] ha senso scrivere gli addendi della tua serie iniziale.
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