Stabilire ordine di infinitesimo.
Ragazzi ho un paio di esercizi a riguardo su cui volevo avere un vostro parere/aiuto.
Iniziamo dal primo che è:
"Stabilire l'ordine di infinitesimo della funzione $\e^(1/x)- e^(sin(1/x))$ per x che tende a +infinito.
Si pone t=1/x, si va a scrivere lo sviluppo di e^t, dopodichè sostituiremo questa t con 1/x, ok.
Ma per l'altro termine come agiamo? Possiamo sviluppare e^sint=1+sint+sin^2t/2+sin^3t/6+.... ma poi? come si incastrano gli sviluppi? Cioè dovremo andare a sviluppare i seni...non riesco a venirne a capo...grazie a chi risponderà.
Iniziamo dal primo che è:
"Stabilire l'ordine di infinitesimo della funzione $\e^(1/x)- e^(sin(1/x))$ per x che tende a +infinito.
Si pone t=1/x, si va a scrivere lo sviluppo di e^t, dopodichè sostituiremo questa t con 1/x, ok.
Ma per l'altro termine come agiamo? Possiamo sviluppare e^sint=1+sint+sin^2t/2+sin^3t/6+.... ma poi? come si incastrano gli sviluppi? Cioè dovremo andare a sviluppare i seni...non riesco a venirne a capo...grazie a chi risponderà.
Risposte
potresti utilizzare, per semplificare i calcoli il fatto che $sin(1/x)~1/x (x->+oo)$
Ok, arrestando lo sviluppo al primo ordine dunque.
Io procederei in modo diverso 
[tex]\displaystyle e^{\frac{1}{x}}-e^{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}} = e^{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\left(e^{\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)}-1\right)[/tex]
Per [tex]x\to+\infty[/tex] il fattore infinitesimo è [tex]\left(e^{\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)}-1\right)[/tex]. A questo punto, ricordando il limite notevole:
[tex]\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t} = 1[/tex]
scopriamo che [tex]\left(e^{\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)}-1\right)[/tex] è dello stesso ordine di [tex]\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad\text{per}\quad x\to\infty[/tex].
Beh ora credo sia pressocchè immediato determinare l'ordine
[tex]\displaystyle e^{\frac{1}{x}}-e^{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}} = e^{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\left(e^{\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)}-1\right)[/tex]
Per [tex]x\to+\infty[/tex] il fattore infinitesimo è [tex]\left(e^{\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)}-1\right)[/tex]. A questo punto, ricordando il limite notevole:
[tex]\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{e^t-1}{t} = 1[/tex]
scopriamo che [tex]\left(e^{\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)}-1\right)[/tex] è dello stesso ordine di [tex]\frac{1}{x}-\sin\left(\frac{1}{x}\right)\quad\text{per}\quad x\to\infty[/tex].
Beh ora credo sia pressocchè immediato determinare l'ordine
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