Stabilire ordine di infinitesimo.

[lawrencepad]

Buonasera, vorrei sapere da qualcuno di voi se una risposta che ho dato ieri durante il parziale di Analisi I è corretta..

L'Ordine di infinitesimo della successione:

$n^(1/4)(sin(1/n)-ln(1+1/n))$

rispetto all'infinitesimo campione $1/n$ è:

a)non esiste
b)$3/4$
c)$7/4$
d)$11/4$

Eseguendo le esemplificazioni mediante gli sviluppi di Mac Laurin:

La mia risposta è stata la D.
Ho sbagliato secondo voi?

[killing_buddha]

Poni $t=1/n$. La funzione \(t\mapsto t^{-1/4}\left(\sin t + \ln(1+t) \right)\) si sviluppa in serie, in un intorno di $t=0$, come \(t\mapsto \frac{t^{7/4}}{2} + O(t^{11/4})\); bisogna quindi che spieghi se "l'ordine di infinitesimo [...] rispetto all'infinitesimo campione" si conta con l'ultimo grado esplicito o con il primo che tralasci dentro l'O-grande.

[lawrencepad]

Non lo so .. ti posso solo dire che il grado di sviluppo da tenere in considerazione per stabilire questo ordine di infinitesimo è lo stesso di quello che, nella successione $(n+1)^(1/3)(e^(3/n)-1-3ln(1+1/n))$ fa si che l'ordine di infinitesimo rispetto allo stesso infinitesimo campione sia $5/3$