Stabilire l'ordine dei poli di una funzione nel campo complesso

[Claff1]

Salve a tutti, sto preparando l'esame di Metodi Matematici per l'ingegneria. Stavo risolvendo un semplice esercizio che chiede di risolvere un integrale tra $-\infty$ e $+\infty$ utilizzando il teorema dei residui.

La mia domanda è più che altro una richiesta di chiarimento sul problema che si presenta nell'individuare i poli della funzione per poi applicare il teorema.

Allora scrivo tutto ciò che ho fatto fin'ora e poi vi espongo il mio dubbio.

$\int_0^(+\infty)(1+z^2)/(1+z^4)dz$ <-- Problema da risolvere

$1/2\int_(-\infty)^(+\infty)(1+z^2)/(1+z^4)dz$ <-- Estendo l'integrale a $-\infty$

Ora procedo ad individuare i poli analizzando gli zeri cominciando con il denominatore:

$z^4+1=0 $

$z^4=e^(\pij+2k\pij)$

$z=(e^(\pij+2k\pij))^(1/4)$

Dunque, con $k=[0,1,2,3]$ i valori sono:

[*:2207au24]$z_0=e^((\pi/4)j)$[/*:2207au24][*:2207au24]$z_1=e^((\pi3/4)j)$[/*:2207au24][*:2207au24]$z_2=e^((\pi5/4)j)$[/*:2207au24][*:2207au24]$z_3=e^((\pi7/4)j)$[/*:2207au24][/list:u:2207au24]

Il mio dubbio arriva qui... Tutti gli esercizi che ho svolto fino ad ora, presentavano una funzione molto semplice o addirittura un 1 al numeratore, dunque non c'erano zeri uguali sia per il denominatore che per il numeratore. In questi casi l'ordine dei poli era dettato semplicemente dall'esponente che ha la funzione del denominatore.

In questo esercizio, invece, $z_0$ e $z_1$ sono zeri anche per il numeratore, e non mi è ben chiara quale operazione dovrei fare per capire l'ordine di questi poli. Ho le idee poco chiare, quello che ho capito è che bisogna confrontare l'ordine al denominatore con quello al numeratore e ad esempio (polo triplo al denominatore (3) - polo doppio al numeratore (2) = polo semplice). Spero possiate aiutarmi e magari fornire un minimo di spiegazione su come muovermi in questi casi. Mi farebbe molta chiarezza. Grazie!

[Werner1]

Allora, anzitutto i poli li hai per $z^4=-1$, non $1$, ma penso che questa sia più che altro una svista, il secondo luogo si, se hai poli al denominatore e zeri al numeratore nello stesso punto, allora si annullano e alla fine potresti addirittura trovare un punto singolare, come ad esempio ${\sin(z)}/z$. In questi casi il polo non conta al fine di valutare l'integrale, la funzione infatti può essere resa continua è regolare nel punto, quindi per il teorema di Cauchy la circuitazione di quei punti va a 0.
Nel tuo esercizio non hai poli che coincidono con zeri, quindi lo puoi rilsolvere normalemente chiudendo il percorso nel semipiano superiore o inferiore come preferisci

[Claff1]

"Werner":Allora, anzitutto i poli li hai per $ z^4=-1 $, non $ 1 $, ma penso che questa sia più che altro una svista

Hahaha sì, scusami sul foglio è scritto correttamente, ho sbagliato a riportare, ora correggo.

Comunque ok ho capito tutto. Mi sono anche accorto che $z_0$ e $z_1$ non sono zeri al numeratore, perché al numeratore sono elevati a $1/2$, non ad $1/4$, errore mio. Dunque se incontro poli che annullano il loro grado con il numeratore, posso evitare di considerarli nel calcolo finale. GRAZIE MILLE!