Stabilire la validità di una formula (integrali impropri)
Sul mio testo di analisi vengono riportati degli esercizi, in particolare il testo recita : "Stabilire la validità della seguente forumla":
$\int_0^1(1/x^(alpha))dx\={(1/(1-a) if a<1),(+oo if a>=1):}\$$
Viene riportata anche una specie di soluzione in cui all'improvviso si fa un cambiamento di variabile.. non ne capisco il motivo e sopratutto non capisco che cosa devo fare esattamente..cioè l'esercizio cosa vuole?
Devo verificare l'integrabilità al variare di $alpha$?
Se si devo usare i riteri d'integrabilità?
$\int_0^1(1/x^(alpha))dx\={(1/(1-a) if a<1),(+oo if a>=1):}\$$
Viene riportata anche una specie di soluzione in cui all'improvviso si fa un cambiamento di variabile.. non ne capisco il motivo e sopratutto non capisco che cosa devo fare esattamente..cioè l'esercizio cosa vuole?
Devo verificare l'integrabilità al variare di $alpha$?
Se si devo usare i riteri d'integrabilità?
Risposte
Consideriamo
\[ \int_0^1 \frac{1}{ x^{\alpha}},\,\,\,\alpha>0\]
Osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= \frac{1}{ x^{\alpha}}$ è definita positiva per tutti i valori di $x$ tali che $ x\ne0,$ perchè stiamo considerando un intervallo di integrazione in cui $x>0,$ altrimenti sarebbe stato necessario considerare il valore assoluto di $x$ in quanto non è possibile eseguire l'elevamento a potenza reale di un numero negativo; allora avremo:
\begin{align*}
\int _{0}^{1 }\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{\varepsilon}^{1} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx=\begin{cases} \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln x\right]_{\varepsilon}^{1}= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln 1-\ln (\varepsilon) \right]=-(-\infty)=+\infty, & \mbox{se }\alpha=1 \\\\ \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha } & \mbox{se }\alpha<1 \\\\
\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{\alpha+1}\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\alpha>1
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=\frac{1}{ x^{\alpha}}$ è integrabile in senso improprio in $[0,1]$ se $\alpha<1.$
\[ \int_0^1 \frac{1}{ x^{\alpha}},\,\,\,\alpha>0\]
Osserviamo subito che la funzione integranda $f(x)= \frac{1}{ x^{\alpha}}$ è definita positiva per tutti i valori di $x$ tali che $ x\ne0,$ perchè stiamo considerando un intervallo di integrazione in cui $x>0,$ altrimenti sarebbe stato necessario considerare il valore assoluto di $x$ in quanto non è possibile eseguire l'elevamento a potenza reale di un numero negativo; allora avremo:
\begin{align*}
\int _{0}^{1 }\frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx&=\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int _{\varepsilon}^{1} \frac{1}{ x^{\alpha}}\,\,dx=\begin{cases} \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln x\right]_{\varepsilon}^{1}= \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\ln 1-\ln (\varepsilon) \right]=-(-\infty)=+\infty, & \mbox{se }\alpha=1 \\\\ \displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= \frac{1}{1-\alpha } & \mbox{se }\alpha<1 \\\\
\displaystyle\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{x^{1-\alpha }}{\alpha+1}\right]_{\varepsilon}^{1}=\lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[\frac{1^{1-\alpha }}{1-\alpha }-\frac{(\varepsilon)^{1-\alpha }}{1-\alpha }\right]= +\infty & \mbox{se }\alpha>1
\end{cases}
\end{align*}
dunque la funzione $f(x)=\frac{1}{ x^{\alpha}}$ è integrabile in senso improprio in $[0,1]$ se $\alpha<1.$
mmmm sto avendo parecchia difficoltà con gli integrali impropri quindi ti faccio qualche domandina.. 
1) Quando svolgo i limiti ottengo un valore finito sia che $a<1$ sia che $a>1$ in partioclare ottengo rispettivamente $1/(1+a)$ e $1/(1-a)$
Insomma non mi trovo con i conti dei limiti
2)Come ti è venuto in mente di prendere proprio $a=1$ come valore di riferimento? Che so potevo prendere $a=0$? In questi casi come stabilisco a quale $a$ fare riferimento?
Insomma non so come farmi venire in mente quale $a$ prendere..
1) Quando svolgo i limiti ottengo un valore finito sia che $a<1$ sia che $a>1$ in partioclare ottengo rispettivamente $1/(1+a)$ e $1/(1-a)$
Insomma non mi trovo con i conti dei limiti
2)Come ti è venuto in mente di prendere proprio $a=1$ come valore di riferimento? Che so potevo prendere $a=0$? In questi casi come stabilisco a quale $a$ fare riferimento?
Insomma non so come farmi venire in mente quale $a$ prendere..
"login":
1) Quando svolgo i limiti ottengo un valore finito sia che $a<1$ sia che $a>1$ in partioclare ottengo rispettivamente $1/(1+a)$ e $1/(1-a)$
Insomma non mi trovo con i conti dei limiti
controlla bene, ti ho scritto tutti i passaggi ...
"login":
2)Come ti è venuto in mente di prendere proprio $a=1$ come valore di riferimento? Che so potevo prendere $a=0$? In questi casi come stabilisco a quale $a$ fare riferimento?
Insomma non so come farmi venire in mente quale $a$ prendere..
prima di tutto $a>0$ perche se fosse negarivo la frazione non ci sarebbe ($x^a$ finisce a numeratore) e quella funzione non da problemi in $x=0;$ poi non mi è venuto in mente, cioè non l'ho scelto a caso il valore di $a$, è uscito dal calcolo del limite, che a seconda che sia maggiore o minore di uno da un risultato diverso
Ok finalmente mi trovo con i limiti 
Penso di aver capito qualcosa anche a proposito del valore di $a$, devo per prima cosa calcolare i limiti poi alla fine studio la varianza di $a$ ...
Non ho capito perchè $a$ deve essere maggiore di $0$..
Penso di aver capito qualcosa anche a proposito del valore di $a$, devo per prima cosa calcolare i limiti poi alla fine studio la varianza di $a$ ...
Non ho capito perchè $a$ deve essere maggiore di $0$..
esatto!
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