Stabilire la convergenza dell'integrale...
vi posto il mio svolgimento di un esercizio.. vorrei sapere se è giusto o meno il mio risultato, visto che non posso confrontare e non so come fare la verifica 
grazie... allora...
$ int int_(D) arctan ((x^2 + y^2)^3)/(x^2 + y^2)^3 dxdy $
con il D={ $ (x,y) in R^2 : y >= o $ }
ho iniziato facendo il cambio di variabili in :
x = r cos a $-------- r in (o,k) $
y = r sin a $-------- a in (o,(p.g.)) $
$ Dk={(r,a) in RR ^2: 0 < r < k,0 < a < (p.g.) } $
di conseguenza mi diventa tutto cosi:
$ int_(o)^(k) [ int_(o)^((p.g.)) arctan (r^6) / r^5 da]dr = p.g. int_(o)^(k)arctan (r^6) / r^5 dr < p.g. int_(o)^(k) ((p.g.)/2)/r^5 dr = $
$ (p.g.)^2/2 int_(0)^(k)r^-5 dr = (p.g.)^2/2 (1/(4k^4) - 0 ) rArr lim_(k -> oo ) (p.g.)^2/2 (1/(4k^4) - 0 )= 0 $
quindi il mio integrale converge a zero
per voi è giusto? grazie mille... aspetto le vostre risposte
grazie... allora...$ int int_(D) arctan ((x^2 + y^2)^3)/(x^2 + y^2)^3 dxdy $
con il D={ $ (x,y) in R^2 : y >= o $ }
ho iniziato facendo il cambio di variabili in :
x = r cos a $-------- r in (o,k) $
y = r sin a $-------- a in (o,(p.g.)) $
$ Dk={(r,a) in RR ^2: 0 < r < k,0 < a < (p.g.) } $
di conseguenza mi diventa tutto cosi:
$ int_(o)^(k) [ int_(o)^((p.g.)) arctan (r^6) / r^5 da]dr = p.g. int_(o)^(k)arctan (r^6) / r^5 dr < p.g. int_(o)^(k) ((p.g.)/2)/r^5 dr = $
$ (p.g.)^2/2 int_(0)^(k)r^-5 dr = (p.g.)^2/2 (1/(4k^4) - 0 ) rArr lim_(k -> oo ) (p.g.)^2/2 (1/(4k^4) - 0 )= 0 $
quindi il mio integrale converge a zero
per voi è giusto? grazie mille... aspetto le vostre risposte
Risposte
Non va bene: l'integrale presenta problemi sia in zero che in $+\infty$, e tra l'altro mischi tra loro la verifica dell'integrabilità con il calcolo esplicito.
quindi? come avresti fatto tu? guarda ho bisogno di almeno un esempio svolto... in modo da orientarmi sul resto degli esercizi... potresti svolgermelo tu, spiegandomelo passo passo lo so che chiedo troppo, ma sono in difficolta... grazie mille
lo so che chiedo troppo, ma sono in difficolta... grazie mille
Il passaggio a coordinate polari è giusto: quindi hai $\rho\in[0,+\infty),\ \theta\in[0,\pi]$ e l'integrale diventa
$\int_0^\pi \int_0^+\infty {\arctan\rho^6}/{\rho^6}\cdot\rho\ d\rho\ d\theta=2\pi\int_0^{+\infty}{\arctan\rho^6}/{\rho^5}\ d\rho$
Analizziamo il comportamento della funzione integranda per $\rho=0,\ \rho\to+\infty$:
-$\rho\to+\infty$ la funzione è asintotica a ${\arctan\rho^6}/{\rho^5}\sim {\pi/2}/{\rho^5}$ che è integrabile, avendo esponente maggiore di 1;
-$\rho=0$ la funzone è asintotica a ${\arctan\rho^6}/{\rho^5}\sim {\rho^6}/{\rho^5}=\rho$ che è integrabile
Pertanto la funzione risulta integrabile su $[0,+\infty)$.
$\int_0^\pi \int_0^+\infty {\arctan\rho^6}/{\rho^6}\cdot\rho\ d\rho\ d\theta=2\pi\int_0^{+\infty}{\arctan\rho^6}/{\rho^5}\ d\rho$
Analizziamo il comportamento della funzione integranda per $\rho=0,\ \rho\to+\infty$:
-$\rho\to+\infty$ la funzione è asintotica a ${\arctan\rho^6}/{\rho^5}\sim {\pi/2}/{\rho^5}$ che è integrabile, avendo esponente maggiore di 1;
-$\rho=0$ la funzone è asintotica a ${\arctan\rho^6}/{\rho^5}\sim {\rho^6}/{\rho^5}=\rho$ che è integrabile
Pertanto la funzione risulta integrabile su $[0,+\infty)$.
grazie mille... questo sarebbe il criterio del confronto asintotico giusto? in poche parole devo analizzare la funzione negli estremi di integrazione per stabilire se l'integrale converge o meno... e se fosse capitato che uno dei due estremi non fosse integrabile? come avrei dovuto comportarmi?
questo sarebbe il criterio del confronto asintotico giusto? in poche parole devo analizzare la funzione negli estremi di integrazione per stabilire se l'integrale converge o meno... e se fosse capitato che uno dei due estremi non fosse integrabile? come avrei dovuto comportarmi?
A quel punto avresti potuto concludere che l'integrale diverge.
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