Stabilire il carattere della serie
Buongiorno,
avrei bisogno di un aiuto per stabilire il carattere della seguente serie:
$ sum(((n-2 sqrt(n)) / (n+1)) ^(nsqrt(n))) $
Penso che c si debba ricondurre al numero e d nepero perche è una forma di indecisione $ 1^(infty) $ ma non ho idea di come procedere a scomporre la base e su come manipolare l'esponente.
Ho pensato anche di applicare il teorema della radice ma poi non so come procedere.
Ho l'esame lunedì spero qualcuno riesca ad aiutarmi prima..non voglio andare all'esame non sapendo risolverla.
Ringrazio anticipatamente a chiunque mi risponda.
Illyria
avrei bisogno di un aiuto per stabilire il carattere della seguente serie:
$ sum(((n-2 sqrt(n)) / (n+1)) ^(nsqrt(n))) $
Penso che c si debba ricondurre al numero e d nepero perche è una forma di indecisione $ 1^(infty) $ ma non ho idea di come procedere a scomporre la base e su come manipolare l'esponente.
Ho pensato anche di applicare il teorema della radice ma poi non so come procedere.
Ho l'esame lunedì spero qualcuno riesca ad aiutarmi prima..non voglio andare all'esame non sapendo risolverla.
Ringrazio anticipatamente a chiunque mi risponda.
Illyria
Risposte
Ciao, allora, innanzitutto benvenuta, poi, l'idea del criterio della radice è quella vincente, ti faccio notare che per applicare questo criterio (come anche gli altri) devi avere che i termini siano positivi per $n->+infty$ e questo è verificato, dunque, abbiamo che$ sum (((n-2 sqrt(n)) / (n+1)) ^(nsqrt(n))) $ converge se il limite (dopo aver applicato il criterio radice)
è $<1$ dunque, anche l'idea che devi ricondurti ad un limite che ti riconduca al numero di nepero è giusta, dunque $ lim_(n->+infty) (((n-2 sqrt(n)) / (n+1)) ^(nsqrt(n)))^(1/n) $ $=$
$lim_(n->+infty)((n/(n+1)) -(2sqrt(n)/(n+1)))^sqrt(n)$=$lim_(n->+infty)(((n+1)/(n+1)) -(1/(n+1))-2sqrt(n)/(n+1))^sqrt(n)$ abbiamo aggiunto $1$ e sottratto $1$ in questo passaggio, poi abbiamo che
$lim_(n->+infty)[(1+((1/(1+n))/(-1-2sqrt(n)))^((n+1)/(-1-2sqrt(n)))]^((-1-2sqrt(n))/(n+1)sqrt(n))$ e dunque ormai è finito...puoi concludere te adesso..dimmi se hai qualche dubbio sul procedimento o altro..
è $<1$ dunque, anche l'idea che devi ricondurti ad un limite che ti riconduca al numero di nepero è giusta, dunque $ lim_(n->+infty) (((n-2 sqrt(n)) / (n+1)) ^(nsqrt(n)))^(1/n) $ $=$
$lim_(n->+infty)((n/(n+1)) -(2sqrt(n)/(n+1)))^sqrt(n)$=$lim_(n->+infty)(((n+1)/(n+1)) -(1/(n+1))-2sqrt(n)/(n+1))^sqrt(n)$ abbiamo aggiunto $1$ e sottratto $1$ in questo passaggio, poi abbiamo che
$lim_(n->+infty)[(1+((1/(1+n))/(-1-2sqrt(n)))^((n+1)/(-1-2sqrt(n)))]^((-1-2sqrt(n))/(n+1)sqrt(n))$ e dunque ormai è finito...puoi concludere te adesso..dimmi se hai qualche dubbio sul procedimento o altro..
Ciao ti ringrazio della risposta chiara e veloce allora credo di aver capito e ho continuato così:
$ lim_(x -> infty) [(1+(-1-2sqrt(n))/(n+1))^((n+1)/(-1-2sqrt(n)))]^((-1-2sqrt(n))/(n+1) sqrt(n) $
quindi la parentesi interna tende ad e.
Ottengo:
$ lim_(x -> infty) e^(((-1-2sqrt(n))/ (n+1)sqrt(n)) $
$ lim_(x -> infty) e^((-sqrt(n)-2n)/(n+1)) $
L'esponente è asintotico a -2 quindi ottengo $ e^(-2) $ <1 quindi converge.
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie
$ lim_(x -> infty) [(1+(-1-2sqrt(n))/(n+1))^((n+1)/(-1-2sqrt(n)))]^((-1-2sqrt(n))/(n+1) sqrt(n) $
quindi la parentesi interna tende ad e.
Ottengo:
$ lim_(x -> infty) e^(((-1-2sqrt(n))/ (n+1)sqrt(n)) $
$ lim_(x -> infty) e^((-sqrt(n)-2n)/(n+1)) $
L'esponente è asintotico a -2 quindi ottengo $ e^(-2) $ <1 quindi converge.
Ho sbagliato qualcosa?
Grazie
tutto corretto
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