Stabilire convergenza integrale
Stabilire se converge l'integrale generalizzato $ int_(0)^(1) 1/(sqrt(e^t-1)) $
Se lo studio in un intorno dell'origine ottengo $1/(sqrt t)$ in quanto $e^t-1$ è asintotico a $t$ per $ t -> 0$
Ora...
posso dire che essendo $1/2$(la radice) < $1$ l'integrale è convergente?
mentre per questo...
$int_(1)^( oo ) (logx)/(x^2)$ posso dire che converge??
in quanto studiandolo all'infinito, grazie al confronto di infiniti, posso ricondurlo a $ 1/(x^2)$ e, essendo $2$>$1$ l'integrale converge.
Non son tanto pratico sui generalizzati :/
spero di non aver scritto castronerie.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Se lo studio in un intorno dell'origine ottengo $1/(sqrt t)$ in quanto $e^t-1$ è asintotico a $t$ per $ t -> 0$
Ora...
posso dire che essendo $1/2$(la radice) < $1$ l'integrale è convergente?
mentre per questo...
$int_(1)^( oo ) (logx)/(x^2)$ posso dire che converge??
in quanto studiandolo all'infinito, grazie al confronto di infiniti, posso ricondurlo a $ 1/(x^2)$ e, essendo $2$>$1$ l'integrale converge.
Non son tanto pratico sui generalizzati :/
spero di non aver scritto castronerie.
Vi ringrazio per la disponibilità.
Risposte
Per il primo il tuo ragionamento è giusto.
Per quanto riguarda il secondo il discorso fila "all'infinito", anche se non puoi ricondurti esattamente a $1/x^2$ ma a $1/x^a$ con un qualunque $a<2$ (a causa del logaritmo).
Questo implica la convergenza di $\int_{c}^\infty\frac{\ln(x)}{x^2}dx$ per $c>0$ - ma non per $c=0$. A zero la funzione non è integrabile in quanto "è peggio" di $\frac{1}{x^2}$
e $2>1$. Quindi il secondo integrale non converge.
Per quanto riguarda il secondo il discorso fila "all'infinito", anche se non puoi ricondurti esattamente a $1/x^2$ ma a $1/x^a$ con un qualunque $a<2$ (a causa del logaritmo).
Questo implica la convergenza di $\int_{c}^\infty\frac{\ln(x)}{x^2}dx$ per $c>0$ - ma non per $c=0$. A zero la funzione non è integrabile in quanto "è peggio" di $\frac{1}{x^2}$
e $2>1$. Quindi il secondo integrale non converge.
Perdonami...ho sbagliato l'intervallo di definizione del secondo...
non va da $0$ a $ oo $ ma da $1$ a $ oo $
ho sbagliato a digitare
non va da $0$ a $ oo $ ma da $1$ a $ oo $
ho sbagliato a digitare
Allora anche il secondo integrale converge. 
Uuuuu
Una cosa marginale allo scopo dell'esercizio...non ho capito quando nel messaggio sopra dici...
Una cosa marginale allo scopo dell'esercizio...non ho capito quando nel messaggio sopra dici...
anche se non puoi ricondurti esattamente a $1/(x^2)$ ma a $1/(x^a)$ con un qualunque $a<2$ (a causa del logaritmo).
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