Stabilire che esiste una primitiva senza calcolarla

[vitoci]

Buongiorno, scrivo di seguito la traccia e ciò che ho pensato. Vorrei che mi diceste se il ragionamento è corretto, sbagliato o incompleto e perchè.

Si determini il dominio della funzione $ f(x) = sin(logx) $. Si può stabilire che esiste una primitiva, (eventualmente senza calcolarla in forma esplicita)?

Il dominio è chiaramente $(0, +\infty)$

quindi ha senso $ int_(0)^(+\infty) f(x) dx $

per il Teorema fondamentale del calcolo
$F(x) = int_(0)^(x) f(t) dt$

quindi la mia $F(x) = int_(0)^(x) sin(logt) dt$ ?

oppure devo comunque spezzare l'integrale e quindi $F(x) = int_(0)^(x) sin(logt) dt + int_(x)^( \infty) sin(logt) dt$

tutto questo ragionamento l'ho fatto considerando che $f(x)$ è la composizione di due funzioni continue quindi è continua.

[pilloeffe]

Ciao vitoci,

Non si capisce cosa stai cercando ed inoltre non mi sembra ti sia chiara la differenza fra primitiva, funzione integrale e limite della funzione integrale. L'integrale indefinito della funzione proposta esiste e non è neanche troppo complicato da determinare, infatti basta porre $t := log x $ e dopo qualche passaggio, tenendo conto di questi ben noti integrali, dovresti riuscire a trovare abbastanza facilmente che si ha:

$\int f(x) \text{d}x = \int sin(log x) \text{d}x = 1/2 x (sin(log x) - cos(log x)) + c $

Poi si ha:

$F(x) = \int_0^x sin(log t) \text{d}t = 1/2 x (sin(log x) - cos(log x)) $

$ \lim_{x \to +\infty} F(x) = \int_0^{+\infty} sin(log t) \text{d}t $

Se quest'ultimo integrale convergesse, il risultato sarebbe un numero, che qualche volta è denotato con $F(+\infty) $

[gugo82]

A parte i contazzi proposti da pilloeffe, primitive esistono perché la $f$ è continua in un intervallo: infatti, il TFCI assicura che ogni funzione del tipo $F(x;x_0):=int_(x_0)^x f(t)"d"t$ (con $x_0>0$ fissato) è una primitiva di $f$ definita in tutto $]0,+oo[$.

[vitoci]

"pilloeffe":Ciao vitoci,

Non si capisce cosa stai cercando ed inoltre non mi sembra ti sia chiara la differenza fra primitiva, funzione integrale e limite della funzione integrale. L'integrale indefinito della funzione proposta esiste e non è neanche troppo complicato da determinare, infatti basta porre $t := log x $ e dopo qualche passaggio, tenendo conto di questi ben noti integrali, dovresti riuscire a trovare abbastanza facilmente che si ha:

$\int f(x) \text{d}x = \int sin(log x) \text{d}x = 1/2 x (sin(log x) - cos(log x)) + c $

Poi si ha:

$F(x) = \int_0^x sin(log t) \text{d}t = 1/2 x (sin(log x) - cos(log x)) $

$ \lim_{x \to +\infty} F(x) = \int_0^{+\infty} sin(log t) \text{d}t $

Se quest'ultimo integrale convergesse, il risultato sarebbe un numero, che qualche volta è denotato con $F(+\infty) $

"gugo82":A parte i contazzi proposti da pilloeffe, primitive esistono perché la $ f $ è continua in un intervallo: infatti, il TFCI assicura che ogni funzione del tipo $ F(x;x_0):=int_(x_0)^x f(t)"d"t $ (con $ x_0>0 $ fissato) è una primitiva di $ f $ definita in tutto $ ]0,+oo[ $.

Grazie ragazzi! gugo82 si avevo capito che TFCI avrebbe dato la risposta dato che la funzione è continua, però volevo anche mostrarla, il collegamento che mi mancava era proprio quello che mi ha mostrato pilloeffe. Infatti ora rivedendo la teoria ho capito dove ho mancato questo passaggio e dove avevo fatto confusione.
Concludendo, vi ringrazio tantissimo per avermi risposto ed aiutato.