Stabilire carattere serie al variare di x

[bad.alex]

sapreste spiegarmi come stabilire il carettere della serie:
$sum(x^(n(n+2))/sqrtn$ al variare di x?
vi ringrazio, alex

[gugo82]

Criterio della radice?

Sisì, secondo me potrebbe funzionare.

[bad.alex]

"Gugo82":Criterio della radice?

Sisì, secondo me potrebbe funzionare.

eheheh...beh...con il criterio della radice stabilisco il carattere della serie, giustissimo. ma per il variare di x? come dovrei comportarmi?

[gugo82]

Mettiamola così... Ci sono due modi di risolvere l'esercizio: un modo, quello più immediato, usa risultati della teoria delle serie di potenze (e quindi materiale di Analisi II); l'altro, un po' più lungo ma comunque semplice, ti porta a studiare una serie numerica con parametro $x$ (con criteri, tipo quello della radice, tratti dal materiale di Analisi I).

Primo metodo: tieni presente che la serie di funzioni $\sum 1/sqrtn x^(n(n+2))$ è una serie di potenze in $x$ (con parecchie potenze mancanti! ) e che, come tale, converge per $|x|*, perchè ci sono coefficienti nulli).

Secondo metodo: considera $x$ come parametro e la serie $\sum x^(n(n+2))/sqrtn$ come serie numerica; il Criterio della Radice, ossia la condizione $lim_ n |x^(n(n+2))/sqrtn|^(1/n)<1$, è soddisfatta solo per alcuni valori di $x$: tali valori sono quelli che ti interessano al fine di risolvere l'esercizio.

Prova entrambi i metodi; se fai bene i conti dovresti trovare gli stessi risultati.


__________
* Teorema di Cauchy-Hadamard:

Sia $\sum a_n x^n$ una serie di potenze a coefficienti in $RR$ (o $CC$); tre sono i casi possibili:

1) $0< maxlim |a_n|^(1/n) <+oo$ (ossia il $maxlim |a_n|^(1/n)$ è finito e non nullo): allora il raggio di convergenza della serie di potenze è $r=1/(maxlim |a_n|^(1/n))$ quindi la serie converge certamente per $|x|
2) $maxlim |a_n|^(1/n) =0$: allora la serie di potenze converge per ogni $x in RR$ (o $in CC$) e, come si suol dire, il raggio di convergenza è infinito;

3) $maxlim |a_n|^(1/n)=+oo$: allora il raggio di convergenza è $r=0$ e la serie di potenze converge solo per $x=0$.

Per la definizione di massimo limite (o limite superiore) consulta il tuo testo di Analisi.

[raff5184]

scusate se mi intrometto ma abbiamo un problema simile e perciò sfrutto questo topic già aperto. Visto che gugo82 se ne intende cosa può dirci?

https://www.matematicamente.it/forum/pas ... 30162.html

[bad.alex]

[quote=Gugo82]Mettiamola così... Ci sono due modi di risolvere l'esercizio: un modo, quello più immediato, usa risultati della teoria delle serie di potenze (e quindi materiale di Analisi II); l'altro, un po' più lungo ma comunque semplice, ti porta a studiare una serie numerica con parametro $x$ (con criteri, tipo quello della radice, tratti dal materiale di Analisi I).

Primo metodo: tieni presente che la serie di funzioni $\sum 1/sqrtn x^(n(n+2))$ è una serie di potenze in $x$ (con parecchie potenze mancanti! ) e che, come tale, converge per $|x|*, perchè ci sono coefficienti nulli).

gugo...ora capisco perchè mi hai detto che faccio confusione: io sto studiando per analisi 1 e il prof ha introdotto alcuni elementi di analisi 2...anche se senza farne esempi, solo definizioni. non conosco il metodo per il calcolo della serie di potenze, nè tanto meno saprei come svolgerla. ma ho notato che alcuni di questi esercizi richiedono l'uso. se fossi stato al liceo avremmo mobilitato per un'ingiustizia del genere. la situazione all'università non ci permette di prendere iniziative contro i professori...altrimenti da quel che so potrei proprio cambiare corso di laurea...

[gugo82]

Se non conosci la teoria delle serie di potenze applica il secondo metodo.

Ad ogni modo, in ogni buon corso di Analisi I si accenna alle serie di potenze parlando degli sviluppi di Taylor (che si usano per calcolare alcuni limiti), ma non si va oltre la definizione; la teoria vera e propria delle serie di potenze si fa in Analisi II (o anche più avanti, visto come sono stati spezzettati gli esami di Matematica alla triennale).

Domanda: Alex, ma sei ingengere?

[bad.alex]

"Gugo82":Se non conosci la teoria delle serie di potenze applica il secondo metodo.

Ad ogni modo, in ogni buon corso di Analisi I si accenna alle serie di potenze parlando degli sviluppi di Taylor (che si usano per calcolare alcuni limiti), ma non si va oltre la definizione; la teoria vera e propria delle serie di potenze si fa in Analisi II (o anche più avanti, visto come sono stati spezzettati gli esami di Matematica alla triennale).

Domanda: Alex, ma sei ingengere?

no no. anche se l'avrei preferita per il fatto che fanno parecchi esercizi. ti ringrazio gugo.

[gugo82]

Non sei ingengere, né matematico (credo)... eppure fai tanta Analisi.
Strano, di solito non funziona così.

Ad ogni modo, prego.