$sqrt(2) notin QQ$ - dimostrazione con insiemi
Se considero questi due insiemi:
$A={a in QQ : a<=0} uu {a in QQ : a>0, a^2<2}$
$B={b in QQ : b>0, b^2>2}$
risulta che A $uu$ B = $QQ$
Non capisco un passaggio nella seguente dimostrazione dove si asserisce:
se esistesse un numero razionale c tale che \( a<=c<=b\) per $AAa in A, AAb in B$
tale numero dovrebbe appartenere ad A oppure a B.
Supponendo che c $in A$
Non potendo essere c $<=0$ allora $c^2<2$
e fin qui tutto ok!
Sia $n> (2c+1)/(2-c^2)$, n$in NN$ esistente per la proprietà di Archimede.
Primo quesito, da dove salta fuori questo specifico valore di n ?!? Cioè $(2c+1)/(2-c^2)$
continuando invece... essendo $1/n^2<1/n$
$(c+1/n)^2 = (c^2 + (2c)/n + 1/n^2)
ok lo sviluppo del primo quadrato
e noto che questa diseguaglianza $(c^2 + (2c)/n + 1/n^2)
termina affermando che $c+1/n in A$, il che è assurdo perché $c$ è più grande di tutti gli elementi di A
$A={a in QQ : a<=0} uu {a in QQ : a>0, a^2<2}$
$B={b in QQ : b>0, b^2>2}$
risulta che A $uu$ B = $QQ$
Non capisco un passaggio nella seguente dimostrazione dove si asserisce:
se esistesse un numero razionale c tale che \( a<=c<=b\) per $AAa in A, AAb in B$
tale numero dovrebbe appartenere ad A oppure a B.
Supponendo che c $in A$
Non potendo essere c $<=0$ allora $c^2<2$
e fin qui tutto ok!
Sia $n> (2c+1)/(2-c^2)$, n$in NN$ esistente per la proprietà di Archimede.
Primo quesito, da dove salta fuori questo specifico valore di n ?!? Cioè $(2c+1)/(2-c^2)$
continuando invece... essendo $1/n^2<1/n$
$(c+1/n)^2 = (c^2 + (2c)/n + 1/n^2)
ok lo sviluppo del primo quadrato
e noto che questa diseguaglianza $(c^2 + (2c)/n + 1/n^2)
termina affermando che $c+1/n in A$, il che è assurdo perché $c$ è più grande di tutti gli elementi di A
Risposte
il $<2$ deriva dalla definizione dell'insieme A definito ad inizio pagina, dove abbiamo che per ogni $a\inA$ si ha che $a>0, a^2<2$
"feddy":
il $<2$ deriva dalla definizione dell'insieme A definito ad inizio pagina, dove abbiamo che per ogni $a\inA$ si ha che $a>0, a^2<2$
ed il valore $(2c+1)/(2−c^2)$ ?! Come ho evidenziato nel quesito 1.
Ora non riesco a compiere tutti i passaggi... tuttavia mi sembra sia proprio l'applicazione della proprietà di Archimede: Per ogni $x>0,y>0$ esiste $n\in N$ tale che $nx>y$, da cui $n>y/x$
"zio_mangrovia":
... Primo quesito, da dove salta fuori questo specifico valore di n ?!? Cioè $(2c+1)/(2-c^2)$ ...
Premesso che quello non è il valore di $n$ ma un valore minore di $n$, quel numero (cioè $(2c+1)/(2-c^2)$) è stato costruito appositamente per la dimostrazione ("dall'intuito" dell'autore della dimostrazione) ...
Mentre il $2$ salta fuori da qui ... $ n> (2c+1)/(2-c^2) \ =>\ 2-c^2>(2c+1)/n\ =>\ 2>(2c+1)/n + c^2$
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Premesso che quello non è il valore di $n$ ma un valore minore di $n$, quel numero (cioè $(2c+1)/(2-c^2)$) è stato costruito appositamente per la dimostrazione ("dall'intuito" dell'autore della dimostrazione) ...
Mentre il $2$ salta fuori da qui ... $ n> (2c+1)/(2-c^2) \ =>\ 2-c^2>(2c+1)/n\ =>\ 2>(2c+1)/n + c^2$
Cordialmente, Alex
Mi sono espresso male, in effetti non volevo dire il valore di $n$ ma vedo che mi avete capito ugualmente
Quindi se non capisco male $(2c+1)/(2-c^2)$ è solo un valore da ricordare a memoria che non si ricava da nessuna parte (quindi mi sono perso da due gg in un bicchier d'acqua !)
Comunque adesso ho capito!
Riassumendo alla fine risulta che $(c+1/n)^2<2$ e avendo supposto $c^2<2$
risulta che il valore $(c+1/n) in A$ ma non è vero perché $c$ lo abbiamo supposto $a<=c<=b$, pertanto è maggiore di qualsiasi elemento appartenente ad A da cui $(c+1/n)>c$, il che non è vero.
Giuste le mie conclusioni?
Grazie a tutti.
"zio_mangrovia":
... Quindi se non capisco male $(2c+1)/(2-c^2)$ è solo un valore da ricordare a memoria ...
Solo se vuoi usare questa dimostrazione ...
"zio_mangrovia":
... che non si ricava da nessuna parte ...
Magari si può ricavare in qualche modo (penso che l'autore della dimostrazione l'abbia costruito ragionandoci, non ci è arrivato per caso) ma ai nostri fini quell'espressione ci serve perché è funzionale al nostro obiettivo, nulla più ...
"zio_mangrovia":
Giuste le mie conclusioni?
Sostanzialmente sì, anche se io direi che partendo dall'ipotesi che esista un razionale $c$ con quelle caratteristiche (maggiore di ogni elemento di $A$, ecc.) si arriva alla conclusione che esiste sempre un razionale appartenente ad $A$ maggiore di $c$ : assurdo.
Cordialmente, Alex
In verità il valore \( \displaystyle \frac{2c+1}{2-c^{2}} \) esce fuori con un gioco di prestigio.
Non è il \( 2 \) a saltare fuori da li, è \( \displaystyle \frac{2c+1}{2-c^{2}} \) a saltare fuori da li.
"axpgn":
Mentre il $2$ salta fuori da qui ... $ n> (2c+1)/(2-c^2) \ =>\ 2-c^2>(2c+1)/n\ =>\ 2>(2c+1)/n + c^2$
Non è il \( 2 \) a saltare fuori da li, è \( \displaystyle \frac{2c+1}{2-c^{2}} \) a saltare fuori da li.
Punti di vista ...
Io mi sono limitato a rispondere alla domanda dell'OP che voleva sapere come ha fatto l'autore a passare da qui $ n> (2c+1)/(2-c^2)$ a qui $2>(2c+1)/n + c^2 $ ...
Cordialmente, Alex
Io mi sono limitato a rispondere alla domanda dell'OP che voleva sapere come ha fatto l'autore a passare da qui $ n> (2c+1)/(2-c^2)$ a qui $2>(2c+1)/n + c^2 $ ...
Cordialmente, Alex
Pienamente d'accordo ma perché l'autore della dimostrazione prende proprio \( \displaystyle \frac{2c+1}{2-c^{2}} \)? L'ha indovinato? L'ha trovato per caso?
No, certo ... ma l'avevo scritto qui ...
"axpgn":
... (penso che l'autore della dimostrazione l'abbia costruito ragionandoci, non ci è arrivato per caso) ...
Appunto. E l'ha costruito proprio "invertendo" i passaggi che tu hai esposto.
In altri termini: nella tua esposizione il fatto che ad un certo punto salti fuori il \( 2 \) è una conseguenza della particolare frazione scelta (giustamente: perché voi avete preso le mosse da quella frazione calata dall'alto) mentre in realtà è la necessità di far uscire il \( 2 \) a far sì che quella sia la particolare frazione da scegliere.
Non so se rendo l'idea.
P.S.
Il mio intervento era infatti dovuto al fatto che ancora non era stato chiarito come avesse fatto l'autore della dimostrazione a indovinare quella frazione.
In altri termini: nella tua esposizione il fatto che ad un certo punto salti fuori il \( 2 \) è una conseguenza della particolare frazione scelta (giustamente: perché voi avete preso le mosse da quella frazione calata dall'alto) mentre in realtà è la necessità di far uscire il \( 2 \) a far sì che quella sia la particolare frazione da scegliere.
Non so se rendo l'idea.
P.S.
Il mio intervento era infatti dovuto al fatto che ancora non era stato chiarito come avesse fatto l'autore della dimostrazione a indovinare quella frazione.
Avevo già capito quello che volevi dire (e che hai detto) e mi era chiaro fin dall'inizio che l'autore ci fosse arrivato
manipolando algebricamente "qualcosa" ... però mentre scrivevo questo post ancora non avevo il quadro completo ... anche perché i passaggi che ho scritto sono sufficienti per rispondere alla domanda dell'OP ma non a chiarire il perché ha fatto quella scelta (neppure letti al "contrario", voglio dire ...)
Secondo me, la dimostrazione andava scritta diversamente ovvero ...
Dati gli insiemi come detto e $a<=c<=b$, dato $n>1$ si ha $1/n^2<1/n$ e partendo da
$(c+1/n)^2$ otteniamo $(c^2 + (2c)/n + 1/n^2)
Scritta così forse si capiva meglio dall'inizio il perché di quella scelta ... IMHO ovviamente ...
Cordialmente, Alex
manipolando algebricamente "qualcosa" ... però mentre scrivevo questo post ancora non avevo il quadro completo ... anche perché i passaggi che ho scritto sono sufficienti per rispondere alla domanda dell'OP ma non a chiarire il perché ha fatto quella scelta (neppure letti al "contrario", voglio dire ...)
Secondo me, la dimostrazione andava scritta diversamente ovvero ...
Dati gli insiemi come detto e $a<=c<=b$, dato $n>1$ si ha $1/n^2<1/n$ e partendo da
$(c+1/n)^2$ otteniamo $(c^2 + (2c)/n + 1/n^2)
Scritta così forse si capiva meglio dall'inizio il perché di quella scelta ... IMHO ovviamente ...
Cordialmente, Alex
"G.D.":
Pienamente d'accordo ma perché l'autore della dimostrazione prende proprio \( \displaystyle \frac{2c+1}{2-c^{2}} \)? L'ha indovinato? L'ha trovato per caso?
Innanzitutto grazie a tutti per le pronte e accurate risposte che mi hanno permesso di togliere la nave dalla secca e proseguire la navigazione di studio
Il testo sul quale sto studiando è quello di Analisi matematica 1 di Marcellini Sbordone Liguori editore... non mi sembra un volume perfetto perché spesso omette particolari come quello prima citato.
Sono un po' tutti così ...
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