Spostare i termini da una parte all'altra: equivalenza asintotica
in un esercizio mi chiede di calcolare la formula di mc laurin arrestata al secondo ordine di $ e^(sqrt(x) $
ma mi dice che ciò non è possibile in quanto la funzione non è derivabile in $ x_o=0 $ ,non essendolo $ sqrtx $
poi dice" tuttavia continua a valere il limite notevole: $ lim_(x -> 0^+)(e^(sqrtx)-1)/(sqrtx)=1 $ . Cioè $ e^sqrtx~~ 1+sqrtx $ o anche $ e^sqrtx= 1+sqrtx+o(sqrtx) $ "
e cosi finisce l'esercizio.
Ora la mia domanda è: a me pareva di aver letto da qualche parte che non è permesso considerare il simbolo di equivalenza asintotica $ ~~ $ come un $ = $ e dunque data una relazione asintotica nota di spostare un termine presente a sinistra del simbolo di equivalenza asintotica a destra del simbolo stesso...in questo caso l'1 che è stato portato a destra individuando cosi una nuova relazione asintotica
ricordo male?
grazie!!!!!!!
ma mi dice che ciò non è possibile in quanto la funzione non è derivabile in $ x_o=0 $ ,non essendolo $ sqrtx $
poi dice" tuttavia continua a valere il limite notevole: $ lim_(x -> 0^+)(e^(sqrtx)-1)/(sqrtx)=1 $ . Cioè $ e^sqrtx~~ 1+sqrtx $ o anche $ e^sqrtx= 1+sqrtx+o(sqrtx) $ "
e cosi finisce l'esercizio.
Ora la mia domanda è: a me pareva di aver letto da qualche parte che non è permesso considerare il simbolo di equivalenza asintotica $ ~~ $ come un $ = $ e dunque data una relazione asintotica nota di spostare un termine presente a sinistra del simbolo di equivalenza asintotica a destra del simbolo stesso...in questo caso l'1 che è stato portato a destra individuando cosi una nuova relazione asintotica
ricordo male?
grazie!!!!!!!
Risposte
L'introduzione di $o(\sqrt{x})$ permette di trasformare l'equivalenza in una uguaglianza.
x@ciampax.
La funzione $e^(root(2)(x))$, non può avere uno sviluppo di Mc Laurin, cioè sviluppabile come somma di potenze di $x$ ad esponente intero, in quanto non è derivabile in $x=0$, tuttavia però può essere espressa come somma di potenze di $x$
ad esponente non intero, contrariamente se fosse intero allora avrebbe uno sviluppo di Mc Laurin, e quindi dovrebbe essere indefinitivamente derivabile, basta sostituire $x^(1/2)$, nella nota espressione $e^x=1+x+x^2/2+x^3/(3!)+...$, ottenendo così $e^(root(2)(x))=1+root(2)(x)+x/2+(x^(3/2))/6+x^2/24+.....$, e pertanto arrestandoci al secondo termine continueremo ad avere l'equivalenza $e^(root(2)(x))=1+root(2)(x)+o(root(2)(x))$, spero che le considerazioni, così come le ho riportate abbiano significato, o mi sbaglio?
Saluti!
La funzione $e^(root(2)(x))$, non può avere uno sviluppo di Mc Laurin, cioè sviluppabile come somma di potenze di $x$ ad esponente intero, in quanto non è derivabile in $x=0$, tuttavia però può essere espressa come somma di potenze di $x$
ad esponente non intero, contrariamente se fosse intero allora avrebbe uno sviluppo di Mc Laurin, e quindi dovrebbe essere indefinitivamente derivabile, basta sostituire $x^(1/2)$, nella nota espressione $e^x=1+x+x^2/2+x^3/(3!)+...$, ottenendo così $e^(root(2)(x))=1+root(2)(x)+x/2+(x^(3/2))/6+x^2/24+.....$, e pertanto arrestandoci al secondo termine continueremo ad avere l'equivalenza $e^(root(2)(x))=1+root(2)(x)+o(root(2)(x))$, spero che le considerazioni, così come le ho riportate abbiano significato, o mi sbaglio?
Saluti!
@francicko: sì, hai pefettamente ragione. Ma io rispondevo solo alla questione "equivalente" e "uguale". In effetti la scrittura $e^{\sqrt{x}}=1+\sqrt{x}+o(\sqrt{x})$non è uno sviluppo di McLaurin (non è polinomiale) ma è uno sviluppo asintotico.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo