Spiegazioni su una serie

[francesco.gazzola.18]

Ho da poco iniziato a studiare le serie ma ho un dubbio su un'esercizio:

$\sum_{n=1}^oo (log^2n+1)/(nlog^2n+n^2logn)~logn/n^2$

Io non sapendo ricondurmi ad una serie nota ho calcolato il lim per n->infinito trovando che converge per la gerarchia degli infiniti. Nonostante il risultato sia giusto il libro la risolve in modo diverso che non riesco a capire:
$logn/n^2 <= 1/n^(3/2) $ (definitivamente)
ma da dove salta fuori $n^(3/2)$? Poi subito sotto c'è scritto "perchè $logn<=n^(1/2)$ definitivamente". Penso sia per spiegare il perchè della disuguaglianza ma lo stesso non riesco a capire.
Infine giustamente dice che per il criterio del confronto asintottico, e per il confronto con la serie armonica generalizzata dato che $3/2>1$ la serie converge.

[lukath]

Penso sia dovuto ancora alla "gerarchia degli infiniti": infatti definitivamente $log n < n^alpha$ con $alpha>0$, dunque in particolare anche se $alpha=1/2$. A quel punto:

$log n / n^2 <= n^(1/2)/n^2 = 1/n^(3/2)$

A quel punto il ragionamento prosegue come hai scritto.