Spiegazione simbologia

[fede161]

Sto svolgendo un esecizio che dice:

"Siano X e Y due spazi metrici e $ {f_n}_(ninmathbb(N) $ una successione di funzioni continue da X a Y tale che $f_n$ converge uniformemente a una funzione $ f:XtoY $. Si dimostri che $f$ è continua:

Nella risoluzione dell'esercizio il libro dice :

"ricordando che $ f_ntof $ per $ n to oo $ unifomemente se

$ Sup_(x in X) d_Y(f_n(x),f(x))
Sapreste spiegarmi "termine a termine" cosa vuol dire quella dicitura?

[gabriella127]

$ "fede16":

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"ricordando che $ f_ntof $ per $ n to oo $ uniformemente se

$ Sup_(x in X) d_Y(f_n(x),f(x))


Più precisamente dovrebbe essere $lim_(n->oo) $$ Sup_(x in X) d_Y(f_n(x),f(x)) =0 $ ,
e quindi per la definizione di limite, $ EE n'in N $ t.c. $ Sup_(x in X) d_Y(f_n(x),f(x)) n'$.

Allora: $d_y$ è la distanza definita sullo spazio metrico $Y$, quindi abbiamo nella formula la distanza tra $f_n(x)$ e $f(x)$.
$ Sup _(x inX $ è quindi l'estremo superiore di questa distanza nell'insieme $X$.
Da un cert $n'$ in poi il sup di questa distanza deve essere $< epsilon $, se il sup della distanza per $x in X$ è minore di $epsilon$ questo vuol dire che la distanza tra $f_n$ e $f$ è $

[gabriella127]

p.s. ho parlato di 'tubo' perché così è intuitivo immaginarselo con funzioni da $R$ a $R$ (si dovrebbe parlare di 'palla' di raggio $epsilon$)