Spiegazione risultato esercizio (già svolto)

[Dino 921]

Salve, avendo la serie:

$ sum_(n = 0)^(+oo) (n+1)y^n $

mi si chiede di calcolarne la somma.
A colpo d'occhio si vede subito che $(n+1)y^n$ è la funzione derivata di $y^(n+1)$.
Dunque nelle soluzioni si riporta che la serie di partenza è ottenuta derivando termine a termine la serie: $ sum_(n = 0)^(+oo) y^(n+1) = y/(1-y) $
e già qui non ho capito: $y/(1-y)$ che cosa è? e da dove viene?

dopo mi si riporta:
$ sum_(n = 0)^(+oo) (n+1) y^n = sum_(n = o)^(+oo) D(y^(n+1)) = D (sum_(n = o)^(+oo) y^(n+1)) = 1/(1-y^2) $

e non ho chiaro l'ultimo passaggio: da dove si deduce $1/(1-y^2)$?

Spero in un vostro aiuto, grazie

[_prime_number]

Usa la formula della serie geometrica (che non vale per ogni $y$ eh! Attenzione al dominio di convergenza). Usando quel risultato, deriva direttamente
$D((y)/(1-y))=D( (-(1-y) +1)/(1-y))=D(-1 +1/(1-y))=(1-y)^{-2}$
(ho ragione di credere che il quadrato comprenda tutto il denominatore e che tu abbia copiato male nel post)

Paola

[Dino 921]

E infatti! vale per gli $|y|<1$. Grazie Paola.
Ad ogni modo, se ho una serie di funzioni (che non sia per forza di Fourier o di potenze), come faccio a stabilirne la convergenza?

[_prime_number]

E' un argomento molto ampio, non si può rispondere in due parole purtroppo. In qualunque libro di Analisi 1 trovi le varie regole e i vari teoremi.

Paola

[Dino 921]

mmm... ad analisi 1 non si trovano purtroppo: bisogna vedere un libro di analisi 2.