Spiegazione pratica su o piccolo
E due giorni che sono ferma a cercare di capire questo benedetto simbolo 
Quel che ho capito io che se pr x->0 l'o piccolo è il grado superiore di quello che sto considerando.. per esempio
\(\displaystyle x^2=o(x^3) \)Ma non credo sia del tutto corretto anche perhcè quando vado a risolvere degli esercizi non ho la minima idea di quello che devo fare
Non c'è qualche buon anima che me lo spiegherebbe? anche in parole povere perchè proprio non so dove sbatterci la testa
Quel che ho capito io che se pr x->0 l'o piccolo è il grado superiore di quello che sto considerando.. per esempio
\(\displaystyle x^2=o(x^3) \)Ma non credo sia del tutto corretto anche perhcè quando vado a risolvere degli esercizi non ho la minima idea di quello che devo fare
Non c'è qualche buon anima che me lo spiegherebbe? anche in parole povere perchè proprio non so dove sbatterci la testa
Risposte
In genere dipende da "dove tende la \(x\)".
In questo caso, dato che \(x\to 0\), detta un po' alla buona un \(o(x^n)\) è una quantità che è del tipo \(x^n\) o potenze con esponente maggiore.
In questo caso non è proprio vero che \(x^2=o(x^3)\).
Comunque non c'è niente di migliore della definizione: \(f(x)\) è un \(o\big(g(x)\big)\) per \(x\to 0\) se \(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\) e in questo caso vedi subito che
\[
\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^3}\ne 0.
\]
In parole povere, un \(o\big(f(x)\big)\) è «qualcosa che va più velocemente a zero di \(f(x)\)».
In questo caso, dato che \(x\to 0\), detta un po' alla buona un \(o(x^n)\) è una quantità che è del tipo \(x^n\) o potenze con esponente maggiore.
In questo caso non è proprio vero che \(x^2=o(x^3)\).
Comunque non c'è niente di migliore della definizione: \(f(x)\) è un \(o\big(g(x)\big)\) per \(x\to 0\) se \(\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0\) e in questo caso vedi subito che
\[
\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x^3}\ne 0.
\]
In parole povere, un \(o\big(f(x)\big)\) è «qualcosa che va più velocemente a zero di \(f(x)\)».
Ok ok infatti se io provassi a disegnarne i grafici riesco a vedere quello che tu dici. Ma se per esempio ho un esercizio di questo tipo:
limite di \(\displaystyle cos(x^2)- (1-x^4) \) x->0 (la radice è quarta)
Il suo risultato è \(\displaystyle o(x^4) \)
Come lo dovrei risolvere? Devo applicare dei limiti notevoli? non capisco se , quando e come usarli
Potresti gentilmente spiegarmi i passaggi o i ragionamenti che fai?
limite di \(\displaystyle cos(x^2)- (1-x^4) \) x->0 (la radice è quarta)
Il suo risultato è \(\displaystyle o(x^4) \)
Come lo dovrei risolvere? Devo applicare dei limiti notevoli? non capisco se , quando e come usarli
Potresti gentilmente spiegarmi i passaggi o i ragionamenti che fai?
Il risultato non è \(o(x^4)\), per il fatto che \(o(x^4)\) non è un numero, è più un "segnaposto": indica una generica funzione di \(x\) con le proprietà date (cioè tende a zero più velocemente di...).
Tra l'altro il limite è semplice: per \(x\to 0\) il coseno tende a \(1\), dunque il limite è \(0\). Dove sarebbe la radice?
Tra l'altro il limite è semplice: per \(x\to 0\) il coseno tende a \(1\), dunque il limite è \(0\). Dove sarebbe la radice?
La radice quarta di \(\displaystyle 1-x^4 \).. Il risultato lo da il libro..
Oppure per esempio questo esercizio:
limite per \(\displaystyle x->0^- \) di \(\displaystyle log(1+x)-e^(1/x)+x \)
Il suo risultato è \(\displaystyle 2x+o(x) \)
PS: non so perchè ma non mi segna bene la \(\displaystyle e \) elevato alla \(\displaystyle (1/x) \)
Oppure per esempio questo esercizio:
limite per \(\displaystyle x->0^- \) di \(\displaystyle log(1+x)-e^(1/x)+x \)
Il suo risultato è \(\displaystyle 2x+o(x) \)
PS: non so perchè ma non mi segna bene la \(\displaystyle e \) elevato alla \(\displaystyle (1/x) \)
Ora, probabilmente il libro chiederà di calcolare qualcos'altro, non il limite, perché se \(x\to 0^-\) poi la \(x\) non deve esserci nel risultato: se ti rimane \(2x+o(x)\), poi per \(x\to 0^-\) hai \(0\)!
Mi chiedeva di verificare l'uguaglianza..
Ah ok, allora questa è un'altra storia.
Quello che il libro dà come risultato non è il limite dell'espressione, perché il limite è un numero reale (al più \(\pm\infty\)).
Comunque è un esercizio un po' strano.
Proporrei di svolgerlo con gli sviluppi in serie di potenze, ma lì non c'è un limite alla potenza a cui fermarsi, uno potrebbe "scendere" fino a \(o(x^{156})\) e oltre.
Immagino quindi che ti chieda di sviluppare l'espressione fino ad una certa potenza di \(x\), no?
(Tra l'altro, la seconda che hai scritto non si può nemmeno fare dato che \(e^{1/x}\) non è derivabile...)
Quello che il libro dà come risultato non è il limite dell'espressione, perché il limite è un numero reale (al più \(\pm\infty\)).
Comunque è un esercizio un po' strano.
Proporrei di svolgerlo con gli sviluppi in serie di potenze, ma lì non c'è un limite alla potenza a cui fermarsi, uno potrebbe "scendere" fino a \(o(x^{156})\) e oltre.
Immagino quindi che ti chieda di sviluppare l'espressione fino ad una certa potenza di \(x\), no?
(Tra l'altro, la seconda che hai scritto non si può nemmeno fare dato che \(e^{1/x}\) non è derivabile...)
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