Spiegazione Integrale già risolto
Ciao a tutti,
vi seguo da molto e ..mi avete salvato molto spesso.
questa volta però ho bisogno di un aiuto direttamente da voi: devo svolgere un integrale(vi posto anche la soluzione del prof,sperando così di rubarvi meno tempo) ma proprio non riesco a capire alcuni passaggi (forse dimentico qualcosa).
Spero nel vostro aiuto
\(\int_{-1}^{0} \frac{\sqrt{x+1}}{2(x-\sqrt{x+1}+7)} dx \)
e la soluzione:
ponendo Y= \(\sqrt{x+1}\)
\(\
\int_0^1 \frac{y^2}{y^2-5y+6} dy =
\int_0^1 1dy + \int_0^1 \frac{5y-6}{(y-2)(y-3)} dy
\)
(questo è il primo passaggio che non capisco)
\(\
1-\int_0^1 \frac{4}{y-2} dy + \int_0^1 \frac{9}{(y-3)}dy
\)
(questo è secondo passaggio che non capisco)
dopo è immediato dato che gli integrali rimasti sono immediati e il risultato è:
\(\
1- [4ln|y-2|]_0^1 + [9ln|y-3|]_0^1
\)
non riesco proprio a capire quei due passaggi
se riusciste a darmi una spiegazione mi fareste un grandissimo piacere
vi seguo da molto e ..mi avete salvato molto spesso.
questa volta però ho bisogno di un aiuto direttamente da voi: devo svolgere un integrale(vi posto anche la soluzione del prof,sperando così di rubarvi meno tempo) ma proprio non riesco a capire alcuni passaggi (forse dimentico qualcosa).
Spero nel vostro aiuto
\(\int_{-1}^{0} \frac{\sqrt{x+1}}{2(x-\sqrt{x+1}+7)} dx \)
e la soluzione:
ponendo Y= \(\sqrt{x+1}\)
\(\
\int_0^1 \frac{y^2}{y^2-5y+6} dy =
\int_0^1 1dy + \int_0^1 \frac{5y-6}{(y-2)(y-3)} dy
\)
(questo è il primo passaggio che non capisco)
\(\
1-\int_0^1 \frac{4}{y-2} dy + \int_0^1 \frac{9}{(y-3)}dy
\)
(questo è secondo passaggio che non capisco)
dopo è immediato dato che gli integrali rimasti sono immediati e il risultato è:
\(\
1- [4ln|y-2|]_0^1 + [9ln|y-3|]_0^1
\)
non riesco proprio a capire quei due passaggi
se riusciste a darmi una spiegazione mi fareste un grandissimo piacere
Risposte
"lorenz89":
\( \int_{-1}^{0} \frac{\sqrt{x+1}}{2(x-\sqrt{x+1}+7)} dx \)
e la soluzione:
ponendo Y= \( \sqrt{x+1} \)
\( \ \int_0^1 \frac{y^2}{y^2-5y+6} dy = \int_0^1 1dy + \int_0^1 \frac{5y-6}{(y-2)(y-3)} dy \)
(questo è il primo passaggio che non capisco)
E' sbagliato.
Che ci sia un coefficiente $-5$ al denominatore originale davanti al termine $sqrt(x+1)$?
In ogni caso, il procedimento è questo $sqrt(x+1)=y->x=y^2-1->dx=2ydy$, prendi e sostituisci tenendo presente che $y \in [0,1]$. Ottieni di conseguenza:
$\int_{-1)^0sqrt(x+1)/[2(x-sqrt(x+1)+7)]dx=\int_{0}^1y/[2(y^2-1-y+7)]2ydy=\int_{-1}^0y^2/(y^2-y+6)dy$.
"lorenz89":
\( \ 1-\int_0^1 \frac{4}{y-2} dy + \int_0^1 \frac{9}{(y-3)}dy \)
(questo è secondo passaggio che non capisco)
Divisione fra polinomi e scomposizione in fratti semplici
C' è un errore: infatti se poni $\sqrt{x+1}=y$ hai che $x=y^2-1$ da cui $dx=2ydy$ hai
\[\int_{-1}^{0}\frac{\sqrt{x+1}}{2(x-\sqrt{x+1}+7)}\,\,dx=\int_{0}^{1}\frac{ y^2}{ y^2-1-y+7}\,\,dy=\int_{0}^{1}\frac{ y^2}{ y^2-y+6}\,\,dy\]
\[\int_{-1}^{0}\frac{\sqrt{x+1}}{2(x-\sqrt{x+1}+7)}\,\,dx=\int_{0}^{1}\frac{ y^2}{ y^2-1-y+7}\,\,dy=\int_{0}^{1}\frac{ y^2}{ y^2-y+6}\,\,dy\]
grazie ragazzi ,
scusate se vi rispondo solo ora ma non ho avuto modo di accedere al pc in questi giorni.
comunque a parte il mio errore nel trascrivere il testo ( come aveva intuito Gabriele c'era un −5 al denominatore originale davanti al termine x+1)
Ho capito che dovevo riguardarmi con più attenzione la scomposizione in fratti semplici.
Grazie ancora delle chiarissime risposte!
scusate se vi rispondo solo ora ma non ho avuto modo di accedere al pc in questi giorni.
comunque a parte il mio errore nel trascrivere il testo ( come aveva intuito Gabriele c'era un −5 al denominatore originale davanti al termine x+1)
Ho capito che dovevo riguardarmi con più attenzione la scomposizione in fratti semplici.
Grazie ancora delle chiarissime risposte!
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