Spiegazione integrale e passaggi misteriosi

[Licia9]

Sto calcolando una serie di fourier $f(x)=-|x+pi|/3$ e devo calcolare il seguente integrale

$int(x+pi)cos(kx)dx$

Ho trovato l'esercizio svolto e risulta

$int(x+pi)cos(kx)dx=(sin(kx))/k (x+pi) -int(sin(kx))/k*1dx$

La k al denominatore da dove è saltata fuori?

Poi dato che alla fine devo calcolare l'integrale definito tra $0$ e $pi$
Come posso fare f(b)-f(a) se non conosco il valore di $k$ ?

Vi prego aiutatemi che ho l'esame

[Camillo]

Devi rivedere le tue conoscenze sullo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica.......di periodo $2pi $.

$f(x)= sum_(k=0) ^(+00) (a_k cos(kx)+b_k sin(kx) )$ con $k in NN $

$a_k = (1/pi) int_0^(2pi) f(x)cos (kx)dx ;b_k=(1/pi)int_0^(2pi) f(x)sin(kx)dx $.
Quando integri lascia $ k $ come parametro indeterminato . è comunque un numero intero.

[Licia9]

"Camillo":Devi rivedere le tue conoscenze sullo sviluppo in serie di Fourier di una funzione periodica.......di periodo $2pi $.

$f(x)= sum_(k=0) ^(+00) (a_k cos(kx)+b_k sin(kx) )$ con $k in NN $

$a_k = (1/pi) int_0^(2pi) f(x)cos (kx)dx ;b_k=(1/pi)int_0^(2pi) f(x)sin(kx)dx $.
Quando integri lascia $ k $ come parametro indeterminato . è comunque un numero intero.

Ti riporto gli altri passaggi..

$ao=2/pi int_{0}^{pi} -((x+pi)/3)dx = -2/(3pi)[x^2/2+pix]$ tra zero e pi
$=-2/(3pi)[pi^2/2+pi^2]=-pi$

ora calcolo $ak$

$ak=2/pi int_{0}^{pi}-((x+pi)/3)cos(kx)dx=-2/(3pi) int_{0}^{pi}(x+pi)cos(kx)dx$

$=int(x+pi)cos(kx)dx = (sin(kx))/k(x+pi)-int(sin(kx))/k dx$

$=-2/(3pi)[(sin(kx))/k(x+pi)+(cos(kx))/k^2]$ Ora dovrei sostituire gli estremi $0$ e $pi$ al posto di x ma non so come fare con k in mezzo..

Poi vorrei sapere da dove saltano fuori le k al denominatore nell'integrale

[Camillo]

Se devi integrare $sin kx$ calcolare cioè $int sin(kx)dx $ otterrai : $-cos(kx)/k +c $ , fai la riprova derivando $-cos(kx)/k +c $ e otterrai ancora $sin(kx ) $. OK ?
Ricorda poi che se devi calcolare quanto vale $sen (kx) $ se $x= pi $ otterrai $0 $ ; se devi invece calcolare il valore di $cos(kx )$ quando $x=pi $ otterrai valori diversi a seconda che
$ k $ sia pari ed avrai $+1 $
$ k $ dispari ed avrai $-1 $

risultati che puoi sintetizzare con $ (-1)^ k $ .ok ?

[Licia9]

ok grazie