Spiegazione esercizio successione definita per ricorrenza
Ciao ragazzi, ho un dubbio su una successione definita per ricorrenza, avendone fatte pochissime non capisco il procedimento da effettuare. Ho un esercizio già svolto ma non capisco con quale criterio si fanno i passaggi potreste spiegarmeli passo per passo $ { ( a_1=1/4 ),( a_(n+1)=sqrt(|a_n^2+a_n|) -a_n):} $
da quello che ho capito prima si fa il limite di $a_(n+1)$ con $l=a_n$ che risulta 1/2 poi si fa il limite di $ sqrt(|l^2 +l|) -2l $ che fa - infinito, il mio primo dubbio è perchè si fanno questi limiti? potreste spiegarmi passo per passo lo svolgimento generale di questi esercizi utilizzando questo come esempio?
grazie e spero che le formule si capiscono
da quello che ho capito prima si fa il limite di $a_(n+1)$ con $l=a_n$ che risulta 1/2 poi si fa il limite di $ sqrt(|l^2 +l|) -2l $ che fa - infinito, il mio primo dubbio è perchè si fanno questi limiti? potreste spiegarmi passo per passo lo svolgimento generale di questi esercizi utilizzando questo come esempio?
grazie e spero che le formule si capiscono
Risposte
Dunque, quando si ha una successione definita per ricorrenza bisogna verificare innanzitutto se essa converge o meno.
Se dimostriamo che è limitata e monotona allora possiamo affermare che essa converge e poi ci occuperemo del calcolo del limite (se esiste).
Proviamo innanzitutto a verificare che è monotona:
$a_{1}=\frac{1}{4}$ e $a_{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} > \frac{1}{4} $. Mostriamo che è crescente per induzione:
$ a_{1}
$
a_{n+1} = \sqrt{\abs{a_{n}^2+a_{n}}}-a_{n} \geq \sqrt{\abs{a_{n-1}^2+a_{n-1}}}-a_{n-1} = a_n
$
Per fare questo ho usato anche il fatto che $ f(x)= \sqrt{\abs{x^2+x}}-x$ è monotona crescente tra $[0,+ \infty)$ ,cosa barbosa da dimostrare con la definizione, un po' meno con le derivate.
Comunque ora sappiamo che è monotona crescente.
Mostriamo che è limitata dal limite che avevi già calcolato sempre per induzione:
$ a_{1} = \frac{1}{4} <\frac{1}{2} $ è banalmente vero. Supponiamo vero per $n$, mostriamo che è vero per $n+1$:
$ a_{n+1} =\sqrt{\abs{a_{n}^2+a_{n}}}-a_{n} \leq \sqrt{\abs{(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} <\frac{1}{2} $
(Ho usato ancora la monotonia di $f(x)$.
Siccome è limitata e monotona crescente allora converge (c'è un teorema che lo afferma).
Se converge è vero il seguente fatto:
$
\lim_{n \to \infty} a_n = l =\lim_{n \to \infty} a_{n+1}
$
Passando al limite la tua seconda uguaglianza si ha:
$
l= \sqrt{\abs{l^2+l}}-l \Rightarrow 4l^2 = l^2+l \Rightarrow l(3l-1)=0 \Rightarrow l= \frac{1}{3}
$
$l=0$ è infatti assurdo.
Dunque la tua successione è monotona crescente e converge a $\frac{1}{3}$.
Ciao.
Se dimostriamo che è limitata e monotona allora possiamo affermare che essa converge e poi ci occuperemo del calcolo del limite (se esiste).
Proviamo innanzitutto a verificare che è monotona:
$a_{1}=\frac{1}{4}$ e $a_{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} > \frac{1}{4} $. Mostriamo che è crescente per induzione:
$ a_{1}
$
a_{n+1} = \sqrt{\abs{a_{n}^2+a_{n}}}-a_{n} \geq \sqrt{\abs{a_{n-1}^2+a_{n-1}}}-a_{n-1} = a_n
$
Per fare questo ho usato anche il fatto che $ f(x)= \sqrt{\abs{x^2+x}}-x$ è monotona crescente tra $[0,+ \infty)$ ,cosa barbosa da dimostrare con la definizione, un po' meno con le derivate.
Comunque ora sappiamo che è monotona crescente.
Mostriamo che è limitata dal limite che avevi già calcolato sempre per induzione:
$ a_{1} = \frac{1}{4} <\frac{1}{2} $ è banalmente vero. Supponiamo vero per $n$, mostriamo che è vero per $n+1$:
$ a_{n+1} =\sqrt{\abs{a_{n}^2+a_{n}}}-a_{n} \leq \sqrt{\abs{(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} <\frac{1}{2} $
(Ho usato ancora la monotonia di $f(x)$.
Siccome è limitata e monotona crescente allora converge (c'è un teorema che lo afferma).
Se converge è vero il seguente fatto:
$
\lim_{n \to \infty} a_n = l =\lim_{n \to \infty} a_{n+1}
$
Passando al limite la tua seconda uguaglianza si ha:
$
l= \sqrt{\abs{l^2+l}}-l \Rightarrow 4l^2 = l^2+l \Rightarrow l(3l-1)=0 \Rightarrow l= \frac{1}{3}
$
$l=0$ è infatti assurdo.
Dunque la tua successione è monotona crescente e converge a $\frac{1}{3}$.
Ciao.
Ciao, grazie della risposta esaustiva ho solo alcuni dubbi nella tua spiegazione:
1- non ho capito come hai dimostrato che $a_n
grazie ancora
1- non ho capito come hai dimostrato che $a_n
grazie ancora
Ciao,
1:
L'ho dimostrato per induzione, faccio vedere che è vero per $n=1$ ovvero che $a_{2}>a_{1} $ dopodiché (passo induttivo) suppongo che tale relazione valga per $n-1$ ovvero che $a_{n} > a_{n-1}$ e dimostro che, vero questo, segue che $a_{n+1}>a_{n}$. Questa è la struttura di una dimostrazione per induzione, se il tuo dubbio era qui. Se invece era sulla minorazione di $a_{n+1} $: io prima affermo che $f(x) = \sqrt{\abs{x^2+x}}-x $ è crescente (prova a vederlo con le derivate) e dunque se $x_{1} > x_{2} $ allora $f(x_{1}) > f(x_{2}) $. Poi, forte di questa proprietà, posso scrivere che $a_{n+1} = \sqrt{\abs{a_{n}^2+a_{n}}}-a_{n} $ e maggiora ($\geq$), proprio per la monotonia di $f(x)$ e per l'ipotesi di induzione, $\sqrt{\abs{a_{n-1}^2+a_{n-1}}}-a_{n-1} $ che è proprio $a_{n} $, dunque $a_{n+1}>a_{n}$.
2:
Per verificare che è limitata bisogna fare quel discorso induttivo che ho fatto io ma il valore da "utilizzare" è al minimo quello del limite che dici tu. Nel caso in cui il limite non fosse finito allora la successione non converge ad alcun valore. Infatti una successione monotona é convergente sse è limitata.
1:
L'ho dimostrato per induzione, faccio vedere che è vero per $n=1$ ovvero che $a_{2}>a_{1} $ dopodiché (passo induttivo) suppongo che tale relazione valga per $n-1$ ovvero che $a_{n} > a_{n-1}$ e dimostro che, vero questo, segue che $a_{n+1}>a_{n}$. Questa è la struttura di una dimostrazione per induzione, se il tuo dubbio era qui. Se invece era sulla minorazione di $a_{n+1} $: io prima affermo che $f(x) = \sqrt{\abs{x^2+x}}-x $ è crescente (prova a vederlo con le derivate) e dunque se $x_{1} > x_{2} $ allora $f(x_{1}) > f(x_{2}) $. Poi, forte di questa proprietà, posso scrivere che $a_{n+1} = \sqrt{\abs{a_{n}^2+a_{n}}}-a_{n} $ e maggiora ($\geq$), proprio per la monotonia di $f(x)$ e per l'ipotesi di induzione, $\sqrt{\abs{a_{n-1}^2+a_{n-1}}}-a_{n-1} $ che è proprio $a_{n} $, dunque $a_{n+1}>a_{n}$.
2:
Per verificare che è limitata bisogna fare quel discorso induttivo che ho fatto io ma il valore da "utilizzare" è al minimo quello del limite che dici tu. Nel caso in cui il limite non fosse finito allora la successione non converge ad alcun valore. Infatti una successione monotona é convergente sse è limitata.
grazie mille..
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