Spiegazione di un integrale

Boussinesq
Salve a tutti :)

devo integrare f(t) = A(2t-t_0)^3
so che la soluzione è la seguente
1/8A(2t-t_0)^4

il problema è che non capisco come si è arrivati al risultato o meglio, non capisco perchè ci sia un ottavo (1/8) e non un quarto (1/4).

Grazie e buon anno a chi mi risponde (anche a tutti che leggono ovviamente ;)

Risposte
Obidream
Dunque se ho ben capito la funzione da integrare è:

$int A(2t-t_0)^3 dt$

$A int (2t-t_0)^3dt$

Ora questo integrale è quasi nella forma $int f'(x)*f(x)^\alpha$ quindi per ottenerla si può moltiplicare e dividere per 2:

$A/2*int 2*(2t-t_0)^3dt$

$A/2*(2t-t_0)^4/4+c$

Boussinesq
Eccomi :)

Innanzitutto grazie per la risposta celere!

Lo svolgimento ora mi è chiaro ;), la tua spiegazione mi ha anche permesso di comprendere il secondo integrale:
sen(3t-t_0)
che, secondo questa regola:
mi fa capire che devo anche qua dividere e moltiplicare e ottengo:
1/3 (segno di integrale) 3sen(3t-t_0)
dove il 3 è la derivata dell'argomento del seno
e risolvendolo viene:
1/3(-cos)(3t-t_0)

Dico bene giusto?

Obidream
Si a me sembra ok :)
Un consiglio, prova ad includere le formule tra 2 simboletti di dollaro per facilitare la lettura...
Comunque a me sembra corretto, al massimo prova a derivare quando hai dubbi ;)

Tra l'altro se non hai il colpo d'occhio per usare questo giochino della derivata puoi anche usare delle sostituzioni opportune.. ad esempio nel tuo caso:

$int sin(3t-t_0)dt$

Pongo $u=3t-t_0$ da cui ricavo che $(du)/3=dt$ quindi l'integrale diventa:

$1/3 int sin(u)du=-1/3cos(u)+c$ che riportato alla variabile originale da $-1/3cos(3t-t_0)+c$

Boussinesq
Ehm, ora mi son perso il significato di
$(du)/3=dt $

Noisemaker
"Boussinesq":
Ehm, ora mi son perso il significato di
$(du)/3=dt $



differenziando ambo i membri, e usando la definizione di differenziale:

\begin{align}
u=3t-t_0\quad \to \quad d(u)=d(3t-t_0)\quad \to \quad d(u)= 3 dt \quad \to \quad dt=\frac{du}{3}
\end{align}

Boussinesq
;) grazie

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.