Spiegazione derivata distribuzionale
Ciao a tutti nonostante abbia guardato moltissime dispense la derivata distribuzionale continua a darmi dei problemi. In teoria dovrebbero essere esercizi semplici da risolvere grazie alla formula 
, però della formula non capisco la seconda parte $ T_(f'(x))(x) $ come dovrei esplicitarla?
Prendiamo ad esempio:
$ (5x+3)*H(x) = 5x*H(x)+3H(x) $
come andrebbe risolto? So che la soluzione è $ 3delta_0 + 5*T_H$ io fino al $3delta$ ci sono arrivato ma il resto è nebbia.
, però della formula non capisco la seconda parte $ T_(f'(x))(x) $ come dovrei esplicitarla?Prendiamo ad esempio:
$ (5x+3)*H(x) = 5x*H(x)+3H(x) $
come andrebbe risolto? So che la soluzione è $ 3delta_0 + 5*T_H$ io fino al $3delta$ ci sono arrivato ma il resto è nebbia.
Risposte
Cos'è \(H\)?
Che vuol dire il simbolo \(T_{f(x)}(x)\)?
[Se è una notazione per la distribuzione \(T\) calcolata su \(f\), è una delle più brutte che ho mai visto in vita mia...]
Che vuol dire il simbolo \(T_{f(x)}(x)\)?
[Se è una notazione per la distribuzione \(T\) calcolata su \(f\), è una delle più brutte che ho mai visto in vita mia...]
H è la funzione di Headvise mentre l'altra è proprio la notazione per la distribuzione T
Allora vediamo un po' se ho capito... Tu hai la funzione \( f \colon \mathbb R \ni x \mapsto (5x+3)H(x) \) che è $L_{\text{loc}}^1(\mathbb R)$; ad essa è perciò associata una distribuzione $T_f$ che agisce come segue
\[
T_f(\phi) = \int_{\mathbb R} (5x+3)H(x)\phi(x)dx
\]
per ogni test \( \phi \in \mathscr C_c^{\infty}(\mathbb R) \). Per definizione si ha che
\[
T^{\prime}(\phi) = -T(\phi^{\prime}) = -\int_{\mathbb R} (5x+3)H(x)\phi^{\prime}(x)dx =-\int_0^\infty (5x+3)\phi^{\prime}(x)dx .
\]
Integrando per parti ricaviamo che
\[
T^{\prime}(\phi) = -[(5x+3)\phi(x)]_{0}^{+\infty} + 5\int_0^\infty \phi(x)dx = +3\phi(0) + 5T_{H}(\phi) = (3\delta_0 + 5T_H)(\phi)
\]
che è quanto si voleva.
\[
T_f(\phi) = \int_{\mathbb R} (5x+3)H(x)\phi(x)dx
\]
per ogni test \( \phi \in \mathscr C_c^{\infty}(\mathbb R) \). Per definizione si ha che
\[
T^{\prime}(\phi) = -T(\phi^{\prime}) = -\int_{\mathbb R} (5x+3)H(x)\phi^{\prime}(x)dx =-\int_0^\infty (5x+3)\phi^{\prime}(x)dx .
\]
Integrando per parti ricaviamo che
\[
T^{\prime}(\phi) = -[(5x+3)\phi(x)]_{0}^{+\infty} + 5\int_0^\infty \phi(x)dx = +3\phi(0) + 5T_{H}(\phi) = (3\delta_0 + 5T_H)(\phi)
\]
che è quanto si voleva.
Grazie! Ma se invece volessi usare la formula che ho scritto io, in caso la funzione fosse troppo scomoda per usare la definizione?
Non lo so, la formula francamente non l'ho capita. O meglio, il pezzo con la delta l'ho capito, l'altro no; posso solo ipotizzare che si considera la funzione
\[
f \colon x \mapsto (5x+3)H(x) =\begin{cases} 5x+3 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
\]
e si prende la sua derivata
\[
f^{\prime}(x) =\begin{cases} 5 & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
\]
che è $5H(x)$ (ma in zero? Boh...). Quindi in qualche modo compare anche il termine $5T_H(\phi)$ nell'espressione della derivata distribuzionale.
Però, francamente, diffido un po' delle formule preconfezionate e preferisco usare direttamente la definizione, così sono sicuro di non sbagliare.
\[
f \colon x \mapsto (5x+3)H(x) =\begin{cases} 5x+3 & x \ge 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
\]
e si prende la sua derivata
\[
f^{\prime}(x) =\begin{cases} 5 & x > 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}
\]
che è $5H(x)$ (ma in zero? Boh...). Quindi in qualche modo compare anche il termine $5T_H(\phi)$ nell'espressione della derivata distribuzionale.
Però, francamente, diffido un po' delle formule preconfezionate e preferisco usare direttamente la definizione, così sono sicuro di non sbagliare.
Ok grazie, mi sei stato di grande aiuto! Conterò più sulla definizione
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