Spiegazione derivata di una funzione in più variabili

[Aletzunny1]

Buonasera. Causa virus sto seguendo online le lezioni di Analisi 2 e non mi è per nulla chiaro l'applicazione del procedimento di derivazione di una funzione in più variabili.

Data $f(x,y)=\{(y^2*arctan(x/y)),(0):}$ rispettivamente se $y!=0$ e $y=0$ non capisco come calcolare la derivata quando $y=0$ rispetto a $x$ e $y$.

In particolare non capisco il perchè

$d_f/d_x$ debba essere fatto in un punto $(alpha,0)$ e in particolare venga detto subito che

$(d_f/d_x)(alpha,0)=0$ . Da cosa si deduce? e soprattutto come si calcola?

allo stesso tempo non capisco perchè
$(d_f/d_y)$ venga ancora calcolata in un punto $(alpha,0)$ ma
$(d_f/d_y)(alpha,0)$ $=$ $lim_(t->0) (f(alpha,t)-f(alpha,0))/t$ $=$ $(t^2*arctan(alpha/t))/t$ $=0$

Qualcuno gentilmente potrebbe spiegarmi questo procedimento di derivazione?

Grazie

[axpgn]

Se non ho capito male la funzione vale zero quando $y=0$ qualsiasi sia la $x$ quindi perché ti stupisci?

[Aletzunny1]

"axpgn":Se non ho capito male la funzione vale zero quando $y=0$ qualsiasi sia la $x$ quindi perché ti stupisci?

Si esatto è cosi!
Ma non mi è chiaro il ragionamento tra $d_f/d_x$ e $d_f/d_y$ e con che criterio si sceglie $(alpha,0)$ ... perché proprio $(alpha,0)$ così?

E poi perché per $d_f/d_y$ invece si calcola il limite?. è qui che non mi è chiaro

[axpgn]

Premesso che forse è meglio se rivedi la lezione online perché a me sembra solo un caso particolare, ti faccio notare (di nuovo) che se $y=0$ la funzione varrà sempre zero per qualsiasi $x$ ovvero per ogni $(alpha, 0)$ che è immediatamente derivabile in $x$

[Aletzunny1]

"axpgn":Premesso che forse è meglio se rivedi la lezione online perché a me sembra solo un caso particolare, ti faccio notare (di nuovo) che se $y=0$ la funzione varrà sempre zero per qualsiasi $x$ ovvero per ogni $(alpha, 0)$ che è immediatamente derivabile in $x$

Ok fino a qui quasi tutto ok se non che non capisco ancora una cosa.
Quando faccio $d_f/d_y$ considerando ancora $(alpha,0)$ perchè in pratica sto considerando solo il caso di $y=0$ non potrei allora dire direttamente che vale $0$ senza fare il limite?

[Aletzunny1]

e dunque per una funzione non definita in $x=0$ per esempio

$g(x,y)={((ysinx-x^2)/x,if x!=0),(0,if x=0):}$

dovrò considerare per calcolare $d_g/d_x$ e $d_g/d_y$ in $x=0$ un punto del tipo $(0,alpha)$ giusto?

[axpgn]

Premesso che non sono un esperto e premesso anche che anche questo mi pare un caso particolare, NON è la stessa cosa di prima.
Se è vero che i punti in cui calcoli la derivata sono gli stessi di prima, qui però la variabile è la $y$ ovvero se nel caso precedente la $y$ era costante (e lo era anche la funzione variando la $x$), in questo invece la $y$ è variabile: non farti ingannare dal valore che assume la $y$ nel punto limite (che è fisso), negli altri punti in cui calcoli il rapporto incrementale la $y$ varia e varia secondo "l'altra legge"

[Aletzunny1]

"axpgn":Premesso che non sono un esperto e premesso anche che anche questo mi pare un caso particolare, NON è la stessa cosa di prima.
Se è vero che i punti in cui calcoli la derivata sono gli stessi di prima, qui però la variabile è la $y$ ovvero se nel caso precedente la $y$ era costante (e lo era anche la funzione variando la $x$), in questo invece la $y$ è variabile: non farti ingannare dal valore che assume la $y$ nel punto limite (che è fisso), negli altri punti in cui calcoli il rapporto incrementale la $y$ varia e varia secondo "l'altra legge"

Si forse ho capito...ma ti stai riferendo al caso di $f$ giusto?

Per $g$ invece di certo $d_g/d_y$ sarà $0$ mentre $d_g/d_x$ dovrò calcolarla con il rapporto incrementale... corretto?

[axpgn]

Si, al caso $f$, stavo scrivendo quando hai aggiunto il resto … la $g$ concettualmente è la stessa cosa, hai solo scambiato i nomi … però come dicevo, mi sembrano casi particolari (o non generali), io rivedrei la lezione …

[Aletzunny1]

"axpgn":Si, al caso $f$, stavo scrivendo quando hai aggiunto il resto … la $g$ concettualmente è la stessa cosa, hai solo scambiato i nomi … però come dicevo, mi sembrano casi particolari (o non generali), io rivedrei la lezione …

Allora fino a qui ci sono! Però la lezione è incentrata quasi su tutti questi casi particolari.