Spiegazione cavillo di teoria (o-piccoli)
Salve, la domanda che sto per porvi può sembrare banale per certi aspetti, ma dal mio punto di vista non lo è: tanto vale togliersi il dubbio una volta per tutte.
Dunque, avendo uno sviluppo di McLaurin, come si determina il grado dell'o-piccolo? Desidero un esempio pratico.
Ecco vi posto alcuni sviluppi:
http://aportaluri.files.wordpress.com/2 ... lario1.pdf
(potete trovarli nella seconda pagina). Vi ho postato propio QUESTI sviluppi e non altri, perchè su questi non capisco!
Quindi: il $sinx$ ha come o-piccolo $o(x^(2n+2))$. Questo significa che se mi fermo al primo ordine, avrò:
$sinx=x+o(x^(2*1+2))=x+o(x^4)$ (dove $n$ indica il grado dello sviluppo e quindi in questo caso è uguale ad $1$). vi risulta?
e qui è il problema: su molti eserciziari mi viene invece riportato $sinx=x+o(x)$. ma perchè? cosa mi sfugge?
questo del seno è solo un esempio.
grazie a chiunque voglia aiutarmi
Dunque, avendo uno sviluppo di McLaurin, come si determina il grado dell'o-piccolo? Desidero un esempio pratico.
Ecco vi posto alcuni sviluppi:
http://aportaluri.files.wordpress.com/2 ... lario1.pdf
(potete trovarli nella seconda pagina). Vi ho postato propio QUESTI sviluppi e non altri, perchè su questi non capisco!
Quindi: il $sinx$ ha come o-piccolo $o(x^(2n+2))$. Questo significa che se mi fermo al primo ordine, avrò:
$sinx=x+o(x^(2*1+2))=x+o(x^4)$ (dove $n$ indica il grado dello sviluppo e quindi in questo caso è uguale ad $1$). vi risulta?
e qui è il problema: su molti eserciziari mi viene invece riportato $sinx=x+o(x)$. ma perchè? cosa mi sfugge?
questo del seno è solo un esempio.
grazie a chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Infatti io sono d'accordo con la seconda cosa, non la prima: pensa alla definizione di o-piccolo
e quindi nel formulario a tuo parere è sbagliato? o cosa? comunque se puoi darmi una mano ad intuire, te ne sarei grato
voglio dire: sul formulario è riportato ad esempio:
$arctan x = x- x^3/3 + x^5/5 + ... + (-1)^n (x^(2n+1)/(2n+1)) + o (x^(2n+2))$
se io sviluppo solo $x$ mi aspetterei un $o(x^4)$ dove l'esponente $4$ viene da $2*1+2$. invece sugli esercizi è riportato $o(x^3)$ , il che cambia molto le cose. Perchè?
$arctan x = x- x^3/3 + x^5/5 + ... + (-1)^n (x^(2n+1)/(2n+1)) + o (x^(2n+2))$
se io sviluppo solo $x$ mi aspetterei un $o(x^4)$ dove l'esponente $4$ viene da $2*1+2$. invece sugli esercizi è riportato $o(x^3)$ , il che cambia molto le cose. Perchè?
Lo sviluppo al primo ordine si ottiene da quella formula ponendo \(n=0\), non \(n=1\) come fai erroneamente.
Quindi il primo termine è sempre $n=0$ a prescindere se si tratta di una variabile o meno?
E che significa?
Da come hai scritto il termine generale dello sviluppo del seno o dell'arcotangente deduci che gli indici debbano partire da \(n=0\) e non da \(n=1\).
Ad esempio se lo sviluppo del seno lo scrivo:
\[
\sin x =x-\frac{1}{6}\ x^3 +\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ x^{2n+1} + \text{o}(x^{2n+2})
\]
capisco dal termine generale che gli indici devono partire da \(n=0\) (perché altrimenti per \(n=1\) il termine generale non mi fornisce il primo termine dello sviluppo, cioè \(x\)); mentre se scrivo:
\[
\sin x =x-\frac{1}{6}\ x^3 +\cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\ x^{2n-1} + \text{o}(x^{2n})
\]
capisco che gli indici devono partire da \(n=1\) (perché altrimenti per \(n=0\) il termine generale non mi fornisce il primo termine dello sviluppo, cioè \(x\), ma addirittura mi dà una potenza negativa).
Da come hai scritto il termine generale dello sviluppo del seno o dell'arcotangente deduci che gli indici debbano partire da \(n=0\) e non da \(n=1\).
Ad esempio se lo sviluppo del seno lo scrivo:
\[
\sin x =x-\frac{1}{6}\ x^3 +\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ x^{2n+1} + \text{o}(x^{2n+2})
\]
capisco dal termine generale che gli indici devono partire da \(n=0\) (perché altrimenti per \(n=1\) il termine generale non mi fornisce il primo termine dello sviluppo, cioè \(x\)); mentre se scrivo:
\[
\sin x =x-\frac{1}{6}\ x^3 +\cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}\ x^{2n-1} + \text{o}(x^{2n})
\]
capisco che gli indici devono partire da \(n=1\) (perché altrimenti per \(n=0\) il termine generale non mi fornisce il primo termine dello sviluppo, cioè \(x\), ma addirittura mi dà una potenza negativa).
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