Spezzare dominio integrale doppio (?)
Ciao ragazzi, devo svolgere il seguente integrale:
$ int int_T y/(x+4) dx dy $
$ T={(x,y)\in RR^2: x^2+y^2+2x<=0, y<=-x, 2y<=-x} $
Il disegno del domino è questo (ho problemi con java, quindi ho caricato un'immagine del disegno fatta su un sito):
Allora io ho pensato di spezzare il dominio in due parti, ovvero:
-T1 che va da x=0 al valore di x in corrispondenza dell'intersezione tra la retta y=-x e la circonferenza (ovvero x=-1 );
-T2 che va da x=-1 al valore di x in corrispondenza dell'intersezione tra la retta 2y=-x e la circonferenza.
I punti li ho trovati facendo le intersezioni retta/circonferenza.
E quindi l'integrale di partenza diventa la somma degli integrali calcolati su T1 e T2.
Può andare come ragionamento ?
$ int int_T y/(x+4) dx dy $
$ T={(x,y)\in RR^2: x^2+y^2+2x<=0, y<=-x, 2y<=-x} $
Il disegno del domino è questo (ho problemi con java, quindi ho caricato un'immagine del disegno fatta su un sito):
Allora io ho pensato di spezzare il dominio in due parti, ovvero:
-T1 che va da x=0 al valore di x in corrispondenza dell'intersezione tra la retta y=-x e la circonferenza (ovvero x=-1 );
-T2 che va da x=-1 al valore di x in corrispondenza dell'intersezione tra la retta 2y=-x e la circonferenza.
I punti li ho trovati facendo le intersezioni retta/circonferenza.
E quindi l'integrale di partenza diventa la somma degli integrali calcolati su T1 e T2.
Può andare come ragionamento ?
Risposte
sei sicuro che il testo sia giusto? a me pare che una condizione sia inutile...oppure c'è un < sbagliato
Tommik ha ragione, probabilmente il testo giusto è:
1) $ T={(x,y) in R^2:x^2+y^2+2x≤0,y>=−x,2y≤−x}$ ossia tra la circonferenza e y=-x, e poi tra la retta 2y=-x e la circ.
2) $ T={(x,y) in R^2:x^2+y^2+2x≤0,y<=−x,2y>=−x}$ ossia nella circonferenza e tra le rette.
E in base al caso conviene o meno fare una partizione del dominio. La tua è basata sul dominio 2) quindi suppongo sia quello, e si quindi, va bene.
1) $ T={(x,y) in R^2:x^2+y^2+2x≤0,y>=−x,2y≤−x}$ ossia tra la circonferenza e y=-x, e poi tra la retta 2y=-x e la circ.
2) $ T={(x,y) in R^2:x^2+y^2+2x≤0,y<=−x,2y>=−x}$ ossia nella circonferenza e tra le rette.
E in base al caso conviene o meno fare una partizione del dominio. La tua è basata sul dominio 2) quindi suppongo sia quello, e si quindi, va bene.
"cheetan":
...La tua è basata sul dominio 2) quindi suppongo sia quello, e si quindi, va bene.
...aspettiamo di sapere il testo corretto....ma anche se fosse così non è immediato definire il dominio...
"tommik":
sei sicuro che il testo sia giusto? a me pare che una condizione sia inutile...oppure c'è un < sbagliato
Hai ragione ho sbagliato a scrivere io, l'ultima condizione è $ 2y>=-x$
"cheetan":
2) $ T={(x,y) in R^2:x^2+y^2+2x≤0,y<=−x,2y>=−x} $ ossia nella circonferenza e tra le rette.
Il ragionamento che ho fatto è corretto quindi ?
devi definire come "definire" il dominio...non mi sembra immediato
"tommik":
devi definire come "definire" il dominio...non mi sembra immediato
Mmm e come lo definisco allora ?
Io avevo pensato in quel modo...
fammi vedere come vuoi fare....T1 ok ma T2?
"tommik":
fammi vedere come vuoi fare....T1 ok ma T2?
Allora io ho:
$T1={(x,y)\inRR^2:-1<=x<=0,-x/2<=y<=-x}$
$T2={(x,y)\inRR^2:-8/5<=x<=-1,-x/2<=y<=sqrt(-x^2-2x)}$
EDIT: angelointi va bene come hai fatto.... 
"tommik":
premesso che non sono bravissimo in questo tipo di integrali...ma per definire un dominio con una circonferenza in coordinate cartesiane non è immediato. Il passaggio in coordinate polari non mi sembra efficace in questo caso.
Anche io in un primo momento avevo pensato ad un passaggio alle coordinate polari, ma poi ho visto che non era possibile, perché avremmo un raggio non costante.
"tommik":
Io traslerei la "x" in modo da avere la circonferenza centrata nell'origine
Perché tu dici di traslare la x ? A me della circonferenza interessa solo quel piccolo tratto, cioè l'equazione di quel tratto lì, quindi penso che il ragionamento che ho fatto sia corretto
Però non so
sì ok è vero....va bene come hai fatto 
"tommik":
sì ok è vero....va bene come hai fatto
Ahahah lo dici tanto per accontentarmi o perché pensi che sia corretto veramente ?
"angelointi94":
[quote="tommik"]sì ok è vero....va bene come hai fatto
Ahahah lo dici tanto per accontentarmi o perché pensi che sia corretto veramente ?
[/quote]no no sono sicuro....va bene così....all'inizio ho traslato subito la variabile perché non mi piaceva così....poi pensandoci bene è inutile...
"tommik":
[quote="angelointi94"][quote="tommik"]sì ok è vero....va bene come hai fatto
Ahahah lo dici tanto per accontentarmi o perché pensi che sia corretto veramente ?
[/quote]no no sono sicuro....va bene così....all'inizio ho traslato subito la variabile perché non mi piaceva così....poi pensandoci bene è inutile...
[/quote]E' un sollievo per me
perché ho svolto altri 2/3 esercizi in cui il dominio era simile, e li ho svolti sempre spezzando il dominio, e quindi mi stavano venendo i dubbi su tutto 
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