Spettro di un operatore
Sia [tex]T: l_2 \longrightarrow l_2, T(x)=(0,0, \frac{x_1}{2}, \frac{x_2}{3},..,\frac{x_n}{n+1},..)[/tex]dove
[tex]x=(x_1,x_2,..) \in l_2[/tex]. Determinare lo spettro.
Ho verificato che [tex]\forall \lambda \in \mathbb{C} \quad T-\lambda I[/tex] è iniettivo (spero sia giusto).
Il problema è nel vedere per quali [tex]\lambda[/tex] il range è denso.
Infatti se [tex]\lambda=0[/tex] dovrei aver provato che il range è [tex]\{ (0,0,y_1,y_2,..)\in l_2 |
\sum|ny_n|^2<\infty \}.[/tex]
Ora provando a calcolare [tex](T-\lambda I)^{-1}(y_1,y_2,..)=(x_1,x_2,..)[/tex] mi viene qualcosa del tipo
[tex]x_1=-\frac{y_1}{\lambda}[/tex]
[tex]x_2=-\frac{y_2}{\lambda}[/tex]
[tex]x_{2n+1}=-\frac{1}{\lambda}( y_{2n}+\frac{y_{2n-2}}{(2n-1)\lambda}+\frac{y_{2n-4}}{(2n-1)(2n-3)\lambda^2}+..+\frac{y_2}{(2n-1)(2n-3) ..3 \lambda^n})[/tex]
)
e non so come procedere.
[tex]x=(x_1,x_2,..) \in l_2[/tex]. Determinare lo spettro.
Ho verificato che [tex]\forall \lambda \in \mathbb{C} \quad T-\lambda I[/tex] è iniettivo (spero sia giusto).
Il problema è nel vedere per quali [tex]\lambda[/tex] il range è denso.
Infatti se [tex]\lambda=0[/tex] dovrei aver provato che il range è [tex]\{ (0,0,y_1,y_2,..)\in l_2 |
\sum|ny_n|^2<\infty \}.[/tex]
Ora provando a calcolare [tex](T-\lambda I)^{-1}(y_1,y_2,..)=(x_1,x_2,..)[/tex] mi viene qualcosa del tipo
[tex]x_1=-\frac{y_1}{\lambda}[/tex]
[tex]x_2=-\frac{y_2}{\lambda}[/tex]
[tex]x_{2n+1}=-\frac{1}{\lambda}( y_{2n}+\frac{y_{2n-2}}{(2n-1)\lambda}+\frac{y_{2n-4}}{(2n-1)(2n-3)\lambda^2}+..+\frac{y_2}{(2n-1)(2n-3) ..3 \lambda^n})[/tex]
)
e non so come procedere.
Risposte
Mi sa che non ci siamo. Per esempio, già per \(\lambda=0\) si ha che \(T-\lambda I\) non è ingettivo. E lo stesso succede per \(\lambda=\frac{1}{2}\), per \(\lambda=\frac{1}{3}\)... Calcola bene gli autovalori di quell'affare là.
Fatto questo, come continuare dipende da quanta teoria degli operatori conosci. Hai studiato la struttura dello spettro degli operatori compatti?
Fatto questo, come continuare dipende da quanta teoria degli operatori conosci. Hai studiato la struttura dello spettro degli operatori compatti?
Avrei bisogno di delucidazioni sulla non iniettività: ad esempio per [tex]\lambda = 0[/tex] se [tex]T(x_1,x_2,...)=(0,0,...)[/tex] ottengo l'uguaglianza [tex](0,0,\frac{x_1}{2},\frac{x_2}{3},...)=(0,0,...)[/tex] da cui uguagliando termine a termine queste due successioni ottengo [tex]x_1=0,x_2=0,...[/tex], cioè la successione nulla...
Hai ragione, hai ragione, ti ho detto una sciocchezza. Come giustamente affermi, \(T-\lambda I\) è ingettivo per ogni \(\lambda\). Ti chiedo scusa, mi sono confuso, spero di non averti fatto perdere troppo tempo.
Il problema è più complicato di quanto l'avessi erroneamente visto io perché \(T\) non è simmetrico: infatti
\[T^\star y=(\frac{y_3}{2}, \frac{y_4}{3} \ldots).\]
Mi pare però che \(T\) sia compatto. Difatti, definendo
\[T_nx=(0, 0, \frac{x_1}{2} \ldots \frac{x_n}{n+1}, 0, 0 \ldots), \]
si ottiene una successione di operatori di rango finito, quindi compatti, e tali che
\[\lVert (T_n-T)x\rVert^2=\sum_{k=1}^\infty \frac{\lvert x_{n+k}\rvert^2}{(n+k+1)^2}\le \frac{1}{(n+2)^2}\lVert x \rVert^2\]
per cui \(T_n \to T\) in norma operatoriale e perciò \(T\) è compatto. Se le cose stanno effettivamente così e non mi sono sbagliato un'altra volta allora possiamo subito concludere che lo spettro di \(T\) è ridotto a \(\{0\}\) ed è tutto spettro residuo. Infatti, essendo compatto, \(T\) può ammettere come valori spettrali non nulli solo autovalori, ma \(T\) non ha autovalori.
Il problema è più complicato di quanto l'avessi erroneamente visto io perché \(T\) non è simmetrico: infatti
\[T^\star y=(\frac{y_3}{2}, \frac{y_4}{3} \ldots).\]
Mi pare però che \(T\) sia compatto. Difatti, definendo
\[T_nx=(0, 0, \frac{x_1}{2} \ldots \frac{x_n}{n+1}, 0, 0 \ldots), \]
si ottiene una successione di operatori di rango finito, quindi compatti, e tali che
\[\lVert (T_n-T)x\rVert^2=\sum_{k=1}^\infty \frac{\lvert x_{n+k}\rvert^2}{(n+k+1)^2}\le \frac{1}{(n+2)^2}\lVert x \rVert^2\]
per cui \(T_n \to T\) in norma operatoriale e perciò \(T\) è compatto. Se le cose stanno effettivamente così e non mi sono sbagliato un'altra volta allora possiamo subito concludere che lo spettro di \(T\) è ridotto a \(\{0\}\) ed è tutto spettro residuo. Infatti, essendo compatto, \(T\) può ammettere come valori spettrali non nulli solo autovalori, ma \(T\) non ha autovalori.
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