Spettro di un operatore
Lo spettro di un operatore $T: V \to V$, con $\dim V < \infty$ è definito come l'insieme dei valori per cui l'operatore \(T - \lambda I\) non è invertibile (ovvero biunivoco). Ovvero, nel caso finito-dimensionale appunto:
\[\sigma(T) := \left\{\lambda \in \mathbb{C}: \det (T - \lambda I ) = 0\right\}\]
Quindi per spettro si intende l'insieme degli autovalori, e non, come qualche professore mi aveva fato credere, la ennupla di questi ultimi.
Per intenderci lo spettro dell'operatore identità è \(\sigma(I) = \{1\}\) e non \((\underbrace{1,1,1,\dots,1}_{\text{n-volte}})\).
Per indicare quindi che un operatore ha un unico autovalore, ergo \(\lambda_1 = \lambda_2 = \dots =\lambda_n\), si può scrivere: \[ \text{card}(\sigma(T)) = 1\]
Mi confermate?
Grazie Mille
PS: Non sapevo se postarla qui o in geometria, è a metà tra analisi funzionale e algebra lineare
\[\sigma(T) := \left\{\lambda \in \mathbb{C}: \det (T - \lambda I ) = 0\right\}\]
Quindi per spettro si intende l'insieme degli autovalori, e non, come qualche professore mi aveva fato credere, la ennupla di questi ultimi.
Per intenderci lo spettro dell'operatore identità è \(\sigma(I) = \{1\}\) e non \((\underbrace{1,1,1,\dots,1}_{\text{n-volte}})\).
Per indicare quindi che un operatore ha un unico autovalore, ergo \(\lambda_1 = \lambda_2 = \dots =\lambda_n\), si può scrivere: \[ \text{card}(\sigma(T)) = 1\]
Mi confermate?
Grazie Mille
PS: Non sapevo se postarla qui o in geometria, è a metà tra analisi funzionale e algebra lineare
Risposte
Beh vabbè adesso non ti formalizzare così. Mica le definizioni sono scolpite sulle tavole della legge. Dipendono dal contesto. A seconda del contesto uno intende la ennupla o l'insieme.
Secondo me, in analisi funzionale uno di solito lo veda come insieme, così può parlare di insieme chiuso. Invece in algebra penso sia più comodo pensarlo come ennupla, così uno può scrivere degli algoritmi per diagonalizzare e cose del genere.
Secondo me, in analisi funzionale uno di solito lo veda come insieme, così può parlare di insieme chiuso. Invece in algebra penso sia più comodo pensarlo come ennupla, così uno può scrivere degli algoritmi per diagonalizzare e cose del genere.
Ma vuoi mettere l'eleganza di scrivere \(|\sigma(T)|=1\) per dire che ha tutti gli autovalori uguali?! 
Diciamo che è un insieme ma ogni tanto con un abuso di linguaggio identifichiamo con la ennupla. Ok?
In ogni caso era semplicemente per capire cosa viene inteso dalla maggior parte degli autori con spettro. Nella mia limitata esperienza mi sembra prevalga la definizione come insieme. Poi, per carità, non mi perdo in queste questioni
PS Basterebbe tagliare la testa al toro e definirlo come multiinsieme ed avere la struttura insiemistica unita alle informazioni sulla molteplicità
EDIT: Neanche a farlo apposta, viene proprio utilizzato anche per queste cose: http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset#Applications
EDIT2: Mi rituffo sui libri
Diciamo che è un insieme ma ogni tanto con un abuso di linguaggio identifichiamo con la ennupla. Ok?
In ogni caso era semplicemente per capire cosa viene inteso dalla maggior parte degli autori con spettro. Nella mia limitata esperienza mi sembra prevalga la definizione come insieme. Poi, per carità, non mi perdo in queste questioni
PS Basterebbe tagliare la testa al toro e definirlo come multiinsieme ed avere la struttura insiemistica unita alle informazioni sulla molteplicità
EDIT: Neanche a farlo apposta, viene proprio utilizzato anche per queste cose: http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset#Applications
"The notion of a set takes no account of multiple occurrence of any one of its members, and yet it is just this kind of information which is frequently of importance. We need only think of the set of roots of a polynomial f(x) or the spectrum of a linear operator."
EDIT2: Mi rituffo sui libri
"Emar":
Lo spettro di un operatore $T: V \to V$, con $\dim V < \infty$ è definito come l'insieme dei valori per cui l'operatore \(T - \lambda I\) non è invertibile (ovvero biunivoco). Ovvero, nel caso finito-dimensionale appunto:
\[\sigma(T) := \left\{\lambda \in \mathbb{C}: \det (T - \lambda I ) = 0\right\}\]
Quindi per spettro si intende l'insieme degli autovalori, e non, come qualche professore mi aveva fato credere, la ennupla di questi ultimi.
Per intenderci lo spettro dell'operatore identità è \(\sigma(I) = \{1\}\) e non \((\underbrace{1,1,1,\dots,1}_{\text{n-volte}})\).
In realtà non vedo il problema: le definizioni si scelgono anche assecondando gusti personali. Quindi, a meno di grosse incongruenze, ognuno è libero di scegliersi le definizioni che vuole.
Inoltre, nota che, introducendo un indice per enumerare gli autovalori, stai surrettiziamente introducendo nell'insieme \(\sigma (I)\) un ordine... Quindi stai andando a finire direttamente nella definizione che "ti era stata fatta credere".
Senza scendere troppo in questioni algebriche di scarsissimo interesse, basterebbe considerare lo spettro come insieme delle autocoppie \((\lambda , \mathbf{u}_\lambda)\) (in cui \(\lambda\) è un autovalore e \(\mathbf{u}_\lambda \in \ker (T-\lambda I) \setminus \{\mathbf{0}\}\)) caratterizzate dalla seguente proprietà:
se \((\lambda , \mathbf{u}_\lambda)\) e \((\lambda , \mathbf{v}_\lambda)\) sono elementi distinti di \(\sigma (T)\) solo se \(\operatorname{span} \{\mathbf{u}_\lambda\} \cap \operatorname{span} \{\mathbf{v}_\lambda\} = \{\mathbf{0}\}\)
(insomma, nella classe delle possibili autocoppie stai introducendo una relazione d'equivalenza, ripartendo le autocoppie in classi di equivalenza ognuna delle quali figura un'unica volta nell'insieme \(\sigma (T)\)).
Comunque sono 'd'accordo sul "multi-insieme". Effettivamente è una nozione che meriterebbe più successo, e anche qui non sarebbe fuori luogo. Non che ne avessi mai sentito parlare finché questo post non mi ci ha fatto riflettere un po' su.
Vabbé, pazienza.
Vabbé, pazienza.
@gugo: Simpatica l'idea di considerare l'insieme degli "eigenpair" e considerarne poi l'insieme quoziente rispetto alle relazione di equivalenza introdotta tramite l'intersezione di autospazi. Il tener traccia della molteplicità di un autovalore è utile in molte situazioni.
@dissonance: io sono arrivato ai multiinsiemi studiando probabilità che si usano per modellizzare le urne
(non ne vado pazzo)
Grazie ragazzi per i vostri interventi, apprezzati come sempre.
@dissonance: io sono arrivato ai multiinsiemi studiando probabilità che si usano per modellizzare le urne
(non ne vado pazzo)Grazie ragazzi per i vostri interventi, apprezzati come sempre.
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