Spegazione estremi superiori e estremi inferiori
Di questo argomento ho studiato la teoria, ma come sempre, non riesco a utilizzarla negli esercizi.
Leggendo diversi post(come questo https://www.matematicamente.it/forum/est ... 45735.html) non sono riuscito a cavare un ragno dal buco...quello che vi sto chiedendo è se esiste un metodo generale per riuscire a ricavare gli estremi superiori e inferiori di una "funzione"...
prendiamo come esempio $ x=(3n-2)/(2n)$ $;$ $n E NN$
a quanto ho capito devo calcolare $ x=(3n-2)/(2n)$ per $x=1 , 2 , 3, 4,..., NN$
e per $n=1$ viene come estremo inferiore e anche come massimo
ma, per esempio, non riesco a capire come calcolare l'estremo superiore...
grazie a tutti anticipatamente
Leggendo diversi post(come questo https://www.matematicamente.it/forum/est ... 45735.html) non sono riuscito a cavare un ragno dal buco...quello che vi sto chiedendo è se esiste un metodo generale per riuscire a ricavare gli estremi superiori e inferiori di una "funzione"...
prendiamo come esempio $ x=(3n-2)/(2n)$ $;$ $n E NN$
a quanto ho capito devo calcolare $ x=(3n-2)/(2n)$ per $x=1 , 2 , 3, 4,..., NN$
e per $n=1$ viene come estremo inferiore e anche come massimo
ma, per esempio, non riesco a capire come calcolare l'estremo superiore...
grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Tranquillo, all'inizio sembrano ostici, ma se uno sa la teoria per bene non è difficile, credimi.
Anzitutto, un po' di terminologia. Dato l'insieme $E:={x=(3n-2)/(2n), n in NN_0}$ cerchiamo di capire qualcosa di più su di lui. Calcolando i primi termini e andando un po' ad occhio, si vede che $1/2$ è un minorante dell'insieme. Prova tu a far vedere che, $forall n in NN_0$ hai che $(3n-2)/(2n)>=1/2$. Poichè per $n=1$ trovi proprio $x=1/2$ puoi subito concludere che $1/2=min E = \mbox{inf} E$.
Ok fin qui?
Per i maggioranti, puoi ragionare nello stesso modo, facendo però attenzione: comincia ad arrivare fin qui e a dimostrare che $3/2$ è un maggiorante, poi se vuoi ne riparliamo insieme, perchè il discorso sul sup è un po' più delicato (nulla di che, però non vorrei confonderti).
Se hai bisogno posta.
Anzitutto, un po' di terminologia. Dato l'insieme $E:={x=(3n-2)/(2n), n in NN_0}$ cerchiamo di capire qualcosa di più su di lui. Calcolando i primi termini e andando un po' ad occhio, si vede che $1/2$ è un minorante dell'insieme. Prova tu a far vedere che, $forall n in NN_0$ hai che $(3n-2)/(2n)>=1/2$. Poichè per $n=1$ trovi proprio $x=1/2$ puoi subito concludere che $1/2=min E = \mbox{inf} E$.
Ok fin qui?
Per i maggioranti, puoi ragionare nello stesso modo, facendo però attenzione: comincia ad arrivare fin qui e a dimostrare che $3/2$ è un maggiorante, poi se vuoi ne riparliamo insieme, perchè il discorso sul sup è un po' più delicato (nulla di che, però non vorrei confonderti).
Se hai bisogno posta.
Salve,
mi riallaccio a quanto detto da Paolo90 per quanto riguarda l'estremo superiore dell'insieme $E$.
Per $n=1$, come già visto, $x=1/2$.
Per $n=2$, $x=1$.
Per $n=3$, $x=7/6$
...
...
Per $n-> + infty$ il generico termine della successione $x -> 3/2$.
Questo significa che il valore che la successione può raggiungere al limite è $3/2$.
In definitiva : l'inf $E = 1/2$ = valore minimo che la successione può assumere;
il sup $E = 3/2$ ma non è un massimo perchè la successione non può mai assumere tale valore, ci tende solo per $n-> + infty$.
Spero di essere stato chiaro.
Alessio S.
Studente di Matematica
mi riallaccio a quanto detto da Paolo90 per quanto riguarda l'estremo superiore dell'insieme $E$.
Per $n=1$, come già visto, $x=1/2$.
Per $n=2$, $x=1$.
Per $n=3$, $x=7/6$
...
...
Per $n-> + infty$ il generico termine della successione $x -> 3/2$.
Questo significa che il valore che la successione può raggiungere al limite è $3/2$.
In definitiva : l'inf $E = 1/2$ = valore minimo che la successione può assumere;
il sup $E = 3/2$ ma non è un massimo perchè la successione non può mai assumere tale valore, ci tende solo per $n-> + infty$.
Spero di essere stato chiaro.
Alessio S.
Studente di Matematica
Per concludere che sup $E =3/2 $ va dimostrato che la successione è crescente al crescere di $n $ ad esempio verificando se la disuguaglianza sotto è verificata per qualunque $n $ :
$(3n-2)/(2n) < 3/2$
$(3n-2)/(2n) < 3/2$
Esattamente come dice Camillo!
Ma la disuguaglianza che hai appena scritto vale per ogni $n>0$, e quindi in particolare per ogni $n>=1$, dominio della successione.
Ma la disuguaglianza che hai appena scritto vale per ogni $n>0$, e quindi in particolare per ogni $n>=1$, dominio della successione.
e questo conferma quella che prima era solo una supposizione 
Esatto! 
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