Spectral theorem

[sméagol1]

Riguarda il pezzo img prima del teorema VII.2 (Reed - Simon). Non riesco a seguire il ragionamento. Prima di tutto, \(\mathfrak{B}\mathbb{R}\) è composto di funzioni \(g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)? In secondo luogo:
\[
\begin{split}
\langle \psi,\hat\phi(g)\psi \rangle = 0.25 (\langle \psi+\hat\phi(g)\psi, \psi+\hat\phi(g)\psi\rangle -\langle \psi-\hat\phi(g)\psi ,\psi-\hat\phi(g)\psi \rangle)
\end{split}
\]
è l'identità di polarizzazione applicata alla precedente. Cos'è \(\langle \psi,\hat\phi(g)\phi \rangle\) e come applico Riesz per ricavare \(\hat\phi(g)\)?

[dissonance]

Sarebbe opportuno riportare qui i passaggi che ti danno problemi, magari riformulandoli a parole tue, così è scomodissimo rispondere. Comunque, riesco a dire una cosa: le funzioni nello spazio \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) sono quelle che applicano \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\) (o forse \(\mathbb{C}\), non so il contesto) e Borel misurabili.

[sméagol1]

Si sta cercando di definire una funzione (il mio \(\phi\hat{}(g)\) nel testo è \(g(A)\)) \(\phi\hat{}:\mathfrak{B}\mathbb{R}\rightarrow \mathfrak{L}\mathcal{H}\) (operatori lineari su \(\mathcal{H}\)) con determinate proprietà. Prima è stata costruita una funzione (\(A\in \mathcal{H}\) fissato) \(\phi:C(\sigma(A))\rightarrow \mathfrak{L}\mathcal{H}\) che permette di applicare a (\(\psi \in \mathcal{H}\) fissato) \(f\mapsto \langle \psi,\phi (f)\psi \rangle\) Riesz-Markov e ottenere:
\[
\langle \psi,\phi (f)\psi \rangle=\int_{\sigma(A)}f(\lambda)\mbox{d}\mu_{\psi}
\]
E' il miglior riassunto che riesco a fare. Sempre che risulti naturale inserire \(g \in \mathfrak{B}\mathbb{R}\) al posto di \(f\) nella precedente (con \(\psi\hat{}\) al posto di \(\psi\)), come pensa di *ricostruire* \(\psi\hat{}(g)\) seguendo il ragionamento che descrive in quella parte di testo? Non riesco neppure a cominciare a svilupparlo.

[dissonance]

Dico due cose al volo, è tardissimo e non connetto: quella credo sia una procedura standard, in uno spazio di Hilbert è la stessa cosa avere un operatore simmetrico o la forma quadratica ad esso associata, perché dalla seconda passi al primo via identità di polarizzazione. E quindi mi sa che invece di costruirsi l'operatore si sta costruendo la forma quadratica