Spazio topologico compatto
Salve a tutti. Comincio subito:
detto in parole semplici:
se uno spazio topologico $X$ è compatto (S.T.C) è possibile estrarre un ricoprimento,aperto, finito o infinito che contiene l'insieme ed un sottoricoprimento aperto e finito che è contenuto nel ricoprimento e la cui unione contiene $X$.
Formalmente se $X=U(O_(alpha))$,$X=U(O_(alpha_i))$ allora $X$ è S.T.C.
Ora segue un teorema che dice:
TEO)Sia $X$ uno spazio topologico compatto.Allora ogni sottoinsieme chiuso $C$ di $X$ è compatto.
Ma se $X$ è uno spazio topologico allora esso è formato da sottoinsiemi aperti con $X$ stesso incluso, per definizione di spazio topologico. Allora come può esserci un sottoinsieme chiuso?
(Assumendo ora di poter chiudere ogni sottoinsieme di $X$) mi viene da pensare che un sottoinsieme chiuso è compatto se $X$ è S.T.C ma questo non implica che $X$ sia chiuso. Allora $X$ non è compatto ma lo è ogni suo sottoinsieme?
detto in parole semplici:
se uno spazio topologico $X$ è compatto (S.T.C) è possibile estrarre un ricoprimento,aperto, finito o infinito che contiene l'insieme ed un sottoricoprimento aperto e finito che è contenuto nel ricoprimento e la cui unione contiene $X$.
Formalmente se $X=U(O_(alpha))$,$X=U(O_(alpha_i))$ allora $X$ è S.T.C.
Ora segue un teorema che dice:
TEO)Sia $X$ uno spazio topologico compatto.Allora ogni sottoinsieme chiuso $C$ di $X$ è compatto.
Ma se $X$ è uno spazio topologico allora esso è formato da sottoinsiemi aperti con $X$ stesso incluso, per definizione di spazio topologico. Allora come può esserci un sottoinsieme chiuso?
(Assumendo ora di poter chiudere ogni sottoinsieme di $X$) mi viene da pensare che un sottoinsieme chiuso è compatto se $X$ è S.T.C ma questo non implica che $X$ sia chiuso. Allora $X$ non è compatto ma lo è ogni suo sottoinsieme?
Risposte
Non ho capito qual è il tuo problema.
Fammi un esempio
Fammi un esempio
Sia $X:={x in RR ; -1
Per concludere la verifica mi chiedo: è possibile costruire un sottoricoprimento finito tale che $Xsube (UA_(i_(alpha)))$ ? Mi sembra proprio possibile!
Quindi $X$ è uno spazio topologico compatto dato che un unione di sottoinsiemi aperti può coincidere con un aperto $X=U(A_i)$.
Se $X$ è formato da insiemi aperti allora non ci saranno chiusi nell'insieme e l'unico chiuso è il suo complementare che non appartiene all'insieme;
per quanto riguarda il teorema: supponendo di poter prescindere dal fatto che $X$ sia composto da una famiglia di aperti (e dunque sia anch'esso aperto) supponiamo di poter definire dei generici insiemi chiusi contenuti propriamente in $X$; si dovrebbe però considerare anche $X$ come possibile sottoinsieme di se stesso. Pero' $X$ non è chiuso. Allora, secondo il teorema, $X$ non può essere compatto dato che è aperto nella sua topologia.
Se però prendo un qualunque intervallo chiuso in $X$ strettamente contenuto allora il teorema è valido ed è infatti possibile ricoprire gli intervalli chiusi con dei ricoprimenti aperti che soddisfano $YsubeU(A_(i_(alpha)))subeX$.
In parole povere sto dicendo che seppur $X$ sia definibile come uno SPAZIO TOPOLOGICO COMPATTO, l'insieme $X$ di per se non è compatto perché non può essere preso come sottoinsieme chiuso di se stesso.
Probabilmente sto facendo un pò di confusione quindi ti chiedo perfavore di illuminarmi... Grazie
Per concludere la verifica mi chiedo: è possibile costruire un sottoricoprimento finito tale che $Xsube (UA_(i_(alpha)))$ ? Mi sembra proprio possibile!
Quindi $X$ è uno spazio topologico compatto dato che un unione di sottoinsiemi aperti può coincidere con un aperto $X=U(A_i)$.
Se $X$ è formato da insiemi aperti allora non ci saranno chiusi nell'insieme e l'unico chiuso è il suo complementare che non appartiene all'insieme;
per quanto riguarda il teorema: supponendo di poter prescindere dal fatto che $X$ sia composto da una famiglia di aperti (e dunque sia anch'esso aperto) supponiamo di poter definire dei generici insiemi chiusi contenuti propriamente in $X$; si dovrebbe però considerare anche $X$ come possibile sottoinsieme di se stesso. Pero' $X$ non è chiuso. Allora, secondo il teorema, $X$ non può essere compatto dato che è aperto nella sua topologia.
Se però prendo un qualunque intervallo chiuso in $X$ strettamente contenuto allora il teorema è valido ed è infatti possibile ricoprire gli intervalli chiusi con dei ricoprimenti aperti che soddisfano $YsubeU(A_(i_(alpha)))subeX$.
In parole povere sto dicendo che seppur $X$ sia definibile come uno SPAZIO TOPOLOGICO COMPATTO, l'insieme $X$ di per se non è compatto perché non può essere preso come sottoinsieme chiuso di se stesso.
Probabilmente sto facendo un pò di confusione quindi ti chiedo perfavore di illuminarmi... Grazie
Well, I didn't understand everything you said, and, in fact, I didn't understand your question (too much italian for me xD), but I can give you a proof for your theorem: Take $X$ a compact space. Let $C$ be a closed subset of $X$ and let $\mathcal{U}$ be an open cover of $C$. The family $\mathcal{U}\cup C^c$ is an open cover of $X$, so, as $X$ is a compact space, there exists a finite subcover $\mathcal V$ of $X$. As $\mathcal{V}$ convers $X$, it should cover $C$, but $C^c$ doesn't intersect $C$, so the finite family $\mathcal{V}$ covers $C$. Then, $C$ is a compact subspace of $X$, i.e., $C$ is a compact set with respect to the topology of $X$.
Facciamo un po' di precisazioni, forse hai bisogno di schiarirti un po' le idee:
1)Da come scrivi sembra di capire che tu abbia capito che uno spazio topologico abbia solo sottoinsiemi aperti, e alcune deduzioni che esprimi non sembrano molto corrette. Uno spazio topologico è un insieme munito di una certa quantità di sottoinsiemi chiusa per unione qualsiasi, intersezione finita, e nella quale ci siano l'insieme stesso e l'insieme vuoto: questo non classifica come aperti tutti i sottoinsiemi dell'insieme considerato.
2)Ripassa la definizione di compattezza: uno spazio topologico è compatto se da ogni suo possibile ricoprimento (anche infinito) costituito da aperti è possibile estrarre un sottoricoprimento finito.
Consiglio: non so da dove tu stia studiando, ma leggi attentamente quello che tenti di capire.
1)Da come scrivi sembra di capire che tu abbia capito che uno spazio topologico abbia solo sottoinsiemi aperti, e alcune deduzioni che esprimi non sembrano molto corrette. Uno spazio topologico è un insieme munito di una certa quantità di sottoinsiemi chiusa per unione qualsiasi, intersezione finita, e nella quale ci siano l'insieme stesso e l'insieme vuoto: questo non classifica come aperti tutti i sottoinsiemi dell'insieme considerato.
2)Ripassa la definizione di compattezza: uno spazio topologico è compatto se da ogni suo possibile ricoprimento (anche infinito) costituito da aperti è possibile estrarre un sottoricoprimento finito.
Consiglio: non so da dove tu stia studiando, ma leggi attentamente quello che tenti di capire.
Scusa fractalius ma un commento come il tuo non è' d'aiuto per nessuno e comunque non mi sembra che tu abbia aggiunto nulla di nuovo
"Boomerang":
uno spazio topologico $X$ è compatto (S.T.C) è possibile estrarre un ricoprimento,aperto, finito che contiene l'insieme ed un sottoricoprimento aperto e finito che è contenuto nel ricoprimento e la cui unione contiene $X$.
Estrarre da cosa? Un sottoricoprimento finito del ricoprimento finito? Quello puoi farlo sempre, é una ovvietà.
La definizione di ricoprimento è che l'unione del ricoprimento contiene $X$,non serve dirlo esplicitamente.
La definizione di S.C. é la seguente:
Sia $(X,τ)$ uno spazio topologico, si dice compatto se ogni ricoprimento aperto (anche infinito) ammette un sottoricoprimento finito
Poi nel tuo esempio hai fatto innumerevoli errori, per esempio hai detto che $X$ é aperto ma non chiuso. I chiusi sono i complementari degli aperti, e dato che l'insieme vuoto é aperto...
"Boomerang":
Scusa fractalius ma un commento come il tuo non è' d'aiuto per nessuno e comunque non mi sembra che tu abbia aggiunto nulla di nuovo
A me verrebbe da dirti lo stesso consiglio, non hai dimestichezza con la nozione di topologia, non sai cosa vuol dire ricoprimento e non hai capito la definizione di spazio compatto. Come potrai mai capire un teorema che unisce tutte queste cose?
Ok allora voi siete tutti dei grandi esperti! Però il mio dubbio nessuno lo ha colmato. Diciamocela tutta... Richiamare qualcuno è semplice aiutarlo lo è un pò di meno!
DEF) Sia $X$ uno spazio topologico $Ysube X$, $Y$ è detto compatto se da ogni ricoprimento aperto:
$Ysube U_(alpha)(O_(alpha))$ ,$ O_(alpha) $aperto
è possibile estrarre un sottoricoprimento finito:
$YsubeU(O_(alpha_i))$
In particolare se questo è vero per tutto lo spazio topologico $X$ diremo che $X$ è spazio topologico compatto.
In questo caso l'inclusione è in realtà un'uguaglianza( non abbiamo sovrabbondanza): $X=U_(alpha)(O_(alpha)) => X=U_(alpha_i)(O_(alpha_i)$, $O_(alpha)$ aperto
DEF) Sia $X$ uno spazio topologico $Ysube X$, $Y$ è detto compatto se da ogni ricoprimento aperto:
$Ysube U_(alpha)(O_(alpha))$ ,$ O_(alpha) $aperto
è possibile estrarre un sottoricoprimento finito:
$YsubeU(O_(alpha_i))$
In particolare se questo è vero per tutto lo spazio topologico $X$ diremo che $X$ è spazio topologico compatto.
In questo caso l'inclusione è in realtà un'uguaglianza( non abbiamo sovrabbondanza): $X=U_(alpha)(O_(alpha)) => X=U_(alpha_i)(O_(alpha_i)$, $O_(alpha)$ aperto
Ho capito il mio errore! Non è vero (nel caso del mio esempio) che da ogni ricoprimento aperto è possibile estrarre un sottoricoprimento finito. D'altronde la topologia risulterà quella indotta da $RR$, dato che $EE AsubeRR | X=X∩A$; allora se considero gli intervalli del tipo $]-1>a,b<1[$ via via più larghi e centrati in $0$ si nota che questi sono in numero infinito e non esiste alcun sottoricoprimento finito.
Se avessi preso invece $[-1,1]$ tutto sarebbe stato corretto...
Se avessi preso invece $[-1,1]$ tutto sarebbe stato corretto...
Nel tuo esempio, non so se è quello che intendevi scrivere ma è sicuramente quello che hai scritto, hai preso l'insieme $X=(-1,1)$ con la topologia $Sigma={O/,X,(-1,1/2),(0,1)}$, che non è neppure una topologia.
Infatti $(-1,1/2) nn (0,1)= (0,1/2)$ e non appartiene a $Sigma$.
Prima non volevo essere scortese , anzi. Solo che davvero hai le idee confuse, e non riesco a capire il senso di quello che fai.
Quando parli di topologia indotta, intendi topologia indotta da $(RR,tau_epsilon)$(topologia euclidea) sul sottospazio $X=(-1,1)$?
Infatti $(-1,1/2) nn (0,1)= (0,1/2)$ e non appartiene a $Sigma$.
Prima non volevo essere scortese , anzi. Solo che davvero hai le idee confuse, e non riesco a capire il senso di quello che fai.
Quando parli di topologia indotta, intendi topologia indotta da $(RR,tau_epsilon)$(topologia euclidea) sul sottospazio $X=(-1,1)$?
Premetto di non aver mai studiato topologia in vita mia e forse per il mio corso non sarà nemmeno troppo importante dato che molti dei miei amici hanno passato l'esame senza aver capito ciò che studiavano; io purtroppo non riesco ad avere questo atteggiamento nei confronti della matematica in generale e quando c'è qualcosa che non ho capito non riesco ad andare avanti nello studio perchè non mi sento prfessionalmente completo oltre che per un fatto di curiosità. E' per questo che pur dicendo (involontariamente) cose sbagliate ne ricavo tanti profitti.......
Comunque se mi spieghi il motivo dei miei errori in questo modo puoi essere scortese quanto vuoi, l'importante è che io capisca... Allora, per quanto riguarda lo spazio topologico si può comunque definire $A_3=(0,1/2)$ ed includerlo nella famiglia. In tal caso la definizione di $X$ come spazio topologico è salva.
Si intendevo quella topologia indotta...
Comunque se mi spieghi il motivo dei miei errori in questo modo puoi essere scortese quanto vuoi, l'importante è che io capisca... Allora, per quanto riguarda lo spazio topologico si può comunque definire $A_3=(0,1/2)$ ed includerlo nella famiglia. In tal caso la definizione di $X$ come spazio topologico è salva.
Si intendevo quella topologia indotta...
Giusto per conlcudere (autonomamente!)...
Quello a cui volevo arrivare era capire il seguente teorema:
TEO)se $X$ è uno spazio topologico compatto allora ogni sottoinsieme $KsubeX$ chiuso è compatto.
Mi sembrava una cosa non vera. Il mio controesempio (di uno spazio topologio $(X,Sigma)$ compatto ma non chiuso) che si è rivelato essere un contro-controesempio, mi sembrava contraddire questa affermazione.
In realtà i compatti di sottospazi in cui si induce la topologia di $RR$,ovvero quella euclidea, sono tutti e soli quelli che sono chiusi e limitati (perché solo essi possono verificare il 2° assioma di compattezza,cioè di esistenza di un sottoricoprimento finito).
Per $RR$ (che non è inoltre uno spazio topologico compatto) c'è una condizione che ci assicura il viceversa del teorema precedente che è sempre verificabile: se $X$ è uno spazio di Hausdorff (ed $RR$lo è) allora ogni sottoinsieme $K$ compatto risulta anche chiuso! Di conseguenza il teorema sopra può essere esteso solo ai sottospazi topologici compatti di $RR$.
Quindi in $RR$ un suo sottospazio topologico che sia compatto è necessariamente anche chiuso (ed è compatto anche qualsiasi suo sottoinsieme chiuso) come si capisce in maniera evidente dalla contraddizione a cui sono si è giunti con l'esempio preso in considerazione.
Quello a cui volevo arrivare era capire il seguente teorema:
TEO)se $X$ è uno spazio topologico compatto allora ogni sottoinsieme $KsubeX$ chiuso è compatto.
Mi sembrava una cosa non vera. Il mio controesempio (di uno spazio topologio $(X,Sigma)$ compatto ma non chiuso) che si è rivelato essere un contro-controesempio, mi sembrava contraddire questa affermazione.
In realtà i compatti di sottospazi in cui si induce la topologia di $RR$,ovvero quella euclidea, sono tutti e soli quelli che sono chiusi e limitati (perché solo essi possono verificare il 2° assioma di compattezza,cioè di esistenza di un sottoricoprimento finito).
Per $RR$ (che non è inoltre uno spazio topologico compatto) c'è una condizione che ci assicura il viceversa del teorema precedente che è sempre verificabile: se $X$ è uno spazio di Hausdorff (ed $RR$lo è) allora ogni sottoinsieme $K$ compatto risulta anche chiuso! Di conseguenza il teorema sopra può essere esteso solo ai sottospazi topologici compatti di $RR$.
Quindi in $RR$ un suo sottospazio topologico che sia compatto è necessariamente anche chiuso (ed è compatto anche qualsiasi suo sottoinsieme chiuso) come si capisce in maniera evidente dalla contraddizione a cui sono si è giunti con l'esempio preso in considerazione.
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