Spazio soluzioni sistema ODE

[lo_scrondo1]

Ciao a tutti, scusate se vi ammorbo con una domanda probabilmente beota, ma..

..un sistema del seguente tipo:

$ x''' = A(x'', y'', z'', x', y', z', x, y, z) $
$ y''' = B(x'', y'', z'', x', y', z', x, y, z) $
$ z''' = C(x'', y'', z'', x', y', z', x, y, z) $

dove $A$, $B$, $C$ sono funzioni autonome nonlineari

Ha uno spazio delle soluzioni 9- o 27-dimensionale?

[ciampax]

Direi 27: tre costanti per ogni soluzione, tre soluzioni= 27 costanti

[lo_scrondo1]

Grazie intanto..dunque per ottenerle di quanti integrali primi necessito?

[ciampax]

Tu che dici?

[lo_scrondo1]

A occhio 26 (considerando che è un sistema autonomo), ma ciò contravviene alla regola generale ("un sistema autonomo nonlineare di $n$ ODE necessita di $n-1$ integrali primi")..cosa sbaglio?

PS: rigrazie..!

[ciampax]

Guarda che le equazioni sono $3$.... e facendo le dovute riduzioni diventano...

[lo_scrondo1]

Sei sibillino ..$2$?

[ciampax]

Allora,calmo. Cosa intendi per sistema autonomo? Come deve essere scritto? Quello che hai tu ha già la forma che si usa per applicare il risultato che hai enunciato?

[lo_scrondo1]

Per "sistema autonomo" intendo un sistema che non dipende in maniera diretta dalla variabile indipendente: $y = f(x(t))$ e non $y = f(x,t)$ : il classico sistema time-invariant.

[ciampax]

Ok, per cui quello per te è autonomo? Di che grado deve essere?

[lo_scrondo1]

Guarda, sei estremamente cortese, ma non riesco a seguirti:

$y''' = B(x'', y'', z'', x', y', z', x, y, z)$ è autonoma
$y''' = B(x'', y'', z'', x', y', z', x, y, z, t)$ no

Fammi per favore qualsiasi appunto tu ritenga giusto!

[ciampax]

Guarda, non vorrei dire una fesseria perché spesso certe definizioni di questo tipo sono diverse da caso a caso, ma per me un sistema è autonomo non solo se è indipendente dalla $t$, ma deve anche essere di primo ordine (tutte le derivate sono, al più, derivate prime). Non ti ritrovi?

[lo_scrondo1]

Benissimo, l'importante è intendersi ..dunque desumo che il sistema da me scritto nel primo post si classifichi come "nonautonomo": ciò significa che gli integrali primi necessari sono 3? Oppure devo ridurre il sistema ad uno di primo grado - e quindi necessito di 8 integrali primi?

[ciampax]

Se la definizione è quella che dico io, visto che da una equazione di terzo ordine si passa ad un sistema del primo ordine in $3 $ equazioni, avresti $9$ equazioni, per cui $8$ integrali primi. Ma ripeto, sempre ammesso che la definizione che usi sia questa. (Però sono quasi certo che sia così!).

[lo_scrondo1]

Ora sono sicuro anch'io della tua risposta. Avevo preso un granchio terribile, interpretando "pessimisticamente" un testo troppo vago . Permettimi di ringraziarti per la tua pazienza e disponibilità!

[ciampax]

Prego, è stato un piacere.