Spazio $S_{\infty}$

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale di Kolmogorov e Fomin una breve descrizione dello spazio $S_{\infty}$ come delle funzioni indefinitamente derivabili sulla retta reale e tali che, per ogni $q$ e $k$ naturali fissati, $\lim_{|t|\to \infty}t^kf^{(q)}(t)=0$.
Più avanti nel testo trovo un'altra breve descrizione dello spazio $S_{\infty}$ delle funzioni indefinitamente derivabili e tali che, per ogni $q$ e $p$ naturali fissati, \(\sup_{x\in\mathbb{R}}|x^p\varphi^{(q)}(x)| È lo stesso spazio?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[ciampax]

E direi di sì, sai? Prova a dimostrarlo con la doppia inclusione (una, almeno, dovrebbe essere immediata). Che poi sono le funzioni di Schwarz di classe $C^\infty$ (quelle che si usano per costruire l'antitrasformata di Fourier) se non vado errato.

[DavideGenova1]

Mi sembra praticamente immediato che \(\lim_{|x|\to \infty}x^pf^{(q)}(x)=0\Rightarrow\exists C_{p,q}\geq 0:\sup_{x\in\mathbb{R}}|x^p\varphi^{(q)}(x)|

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[ciampax]

Per il criterio del confronto
$$|x^{p-1} \varphi^{(q)}(x)|<\frac{C_{p,q}}{|x|}$$
quindi... (non ho capito perché parti da $p+1$)

[DavideGenova1]

Ho pensato che, se per ogni $q$ e $\hat{p}$ naturali fissati, \(\sup_{x\in\mathbb{R}}|x^\hat{p}\varphi^{(q)}(x)|

P.S.: ho editato sopra perché avevo scritto $k$ al posto di $p$ alla terza riga.

[ciampax]

Appunto, essendo per ogni $p$ prendi $p$ e pace...

[DavideGenova1]

Certo, certo... Grazie ancora!!!